亚正规对偶截断Toeplitz算子

丁宣浩， 黄雨浩， 桑元琦， 李永宁

1.重庆工商大学 数学与统计学院，重庆 400067；2.经济社会应用统计重庆市重点实验室，重庆 400067；3.西南财经大学 经济数学学院，成都 611130

记H2表示开单位圆盘D={z∈C：|z|<1}上的Hardy空间，L2=L2(T)是单位圆周T={z∈C：|z|=1}上的平方可积函数构成的空间，L∞表示由T上全体本性有界函数构成的空间，H∞是D上有界解析函数构成的全体．

对于每一个非常值的内函数u，我们称

Tfx=P(fx)x∈H2

模型空间正交补上的对偶截断Toeplitz算子Df定义为

文献[1-2]发现对偶截断Toeplitz算子与Hardy空间上的Toeplitz算子[3]有许多相同的性质．例如：对偶截断Toeplitz算子是有界的当且仅当其符号是有界的；紧的对偶截断Toeplitz算子只能是零算子；对偶截断Toeplitz算子为零算子当且仅当其符号为零；符号为连续函数的对偶截断Toeplitz算子生成的C*-代数模去紧算子后构成的理想*-等距同构于T上的连续函数全体[2]．

因此，我们特别考虑是否Df是次正规算子当且仅当Tf是次正规算子?

为了说明我们的研究动机，首先来回顾次正规算子的定义以及Halmos第五问题的历史．

对于Hilbert空间H上的算子S，如果S存在一个包含H的Hilbert空间K，且其上的正规算子N满足S=N|H，则称S为次正规算子．次正规算子理论在许多问题中都有广泛应用[4]．文献[5]对Toeplitz算子提出了著名的Halmos第五问题“是否次正规Toepltiz算子不是解析的就是正规的?” 文献[6]给出了Halmos第五问题成立的充分条件．文献[7]认为这个猜测几乎是正确的．然而，Halmos第五问题首先被我国著名算子理论学家孙顺华先生解决[8-9]．此外，文献[10]也对这个问题进行了研究．但是至今数学家无法给出次正规Toeplitz算子的符号刻画．

对偶截断Toeplitz算子与Toeplitz算子有许多差异．文献[11]的定理9证明了两个解析Toeplitz算子的乘积还是Toeplitz算子．然而，我们很容易构造出两个解析对偶截断Toeplitz算子，其乘积不是对偶截断Toeplitz算子[1]．更多关于Toeplitz算子和Hankel算子的相关研究可参见文献[12-13]．

本文的第一部分，我们考虑了对偶截断Toeplitz算子版本的Halmos第五问题，证明了不存在解析的次正规对偶截断Toeplitz算子．本文的第二部分，我们完全刻画了亚正规的对偶截断Toeplitz算子．

1 解析对偶截断Toeplitz算子

令Mf为L2上的乘法算子，定义为

Mfφ=fφ

Mf正是解析Toeplitz 算子Tf的正规延拓．因此，Hardy空间H2上每一个解析的Toeplitz算子Tf都是次正规的．Df(f是解析函数)在uH2上的限制Df|uH2是次正规的，但是我们不知道解析对偶截断Toeplitz算子是否是次正规的．因此我们考虑如下的问题：

问题1是否每个解析对偶截断Toeplitz算子都是次正规的?

下面的定理1将给出问题1的否定回答．

定理1如果f是一个非常数的解析函数，则Df不是次正规的．

证假设Df是次正规的，则存在正规延拓N，使得

此外，N+λI也是正规算子，并且满足

其中λ是常数．因此，Df+λI是次正规的．不失一般性，假设f(0)=0．令f=zf1，其中f1∈H2．因为次正规算子必是亚正规的，所以Df是亚正规的．Hilbert空间H上的算子T为亚正规算子当且当

T*T≥TT*

当且当

‖Tx‖≥‖T*x‖ ∀x∈H

因为

和

因此

进一步，

矛盾，则

2 亚正规对偶截断Toeplitz算子

因为每个解析对偶截断Toeplitz算子不是次正规的，我们将对偶截断Toeplitz算子的Halmos第五问题改写为如下形式：

问题2是否每个次正规的对偶截断Toeplitz算子都是正规的?

首先，我们用复对称算子的方法给出问题2的肯定回答．然后，运用经典的Toeplitz算子理论，完全刻画正规对偶截断Toeplitz算子的符号．

对于Hilbert 空间上的算子T，存在一个等距且共轭线性的对合映射C，使得

3.因果式(前因后果或前果后因)。如竺可桢的《沙漠里的奇怪现象》，文章从沙漠中的奇怪现象入手，揭示了光线、声音作怪的奥秘。

CTC=T*

在L2上有一个经典的对合映射C，其定义为

定理2如果f∈L∞，则下面的3条陈述是等价的：

证⟺由上面的讨论，我们知道亚正规的对偶截断Toeplitz算子都是正规的．反过来，根据定义，每个正规算子一定是亚正规的．

(1)

展开(1)式可得

(2)

取y=ux，x∈H2，则(2)式变为

(3)

因此

根据文献[3]的命题7.5，可得

则

进一步有

(4)

计算下式

由(4)式可得

类似地，有

因此

注1Hardy空间上的Toeplitz算子反酉等价于(H2)⊥上的对偶Toeplitz算子(H2)⊥[18-19]．

但是对于模型空间的情况就完全不同了，对偶截断Toeplitz算子Df是正规的当且当Tf是正规的(定理2)，当且当存在常数c和d以及一个实值函数φ∈L∞，满足f=cφ+d．正规截断Toeplitz算子与正规对偶截断Toeplitz算子的符号有巨大区别，并且是复杂的[20-21]．