B-矩阵线性互补问题解的误差界新估计式

周翠玲，莫宏敏

(吉首大学 数学与统计学院，湖南吉首 416000)

§1 引言

线性互补问题应用广泛，如力学中的接触力学问题，经济学中的期权定价问题，工程学中的流体弹性动态润滑问题等都可以转化为线性互补问题来进行求解(见文献[1-2]).线性互补问题的数学模型为找到解Rn，使得

记为LCP(M，q)，其中M(mij)Rn×n为给定实矩阵，Rn为给定实向量.

2006年，文献[3]给出当矩阵M为P-矩阵时，其相应线性互补问题解的误差界

其中x*是LCP(M，q)的解，r(x)min{x，Mx+q}，[0，1]n表示d为分量di[0，1]的区间向量，Ddiag(d1，d2，...，dn).近年来，国内外学者基于文献[3]的研究，对P-矩阵的子类矩阵线性互补问题解的误差界估计进行了系列研究，获得了一些较好的误差界估计式(见文献[4-10]).本文利用文献[11]中的结果，对P-矩阵的子类矩阵B-矩阵线性互补问题解的误差界进行了进一步研究，得到了B-矩阵线性互补问题解的误差界新估计式.理论分析证明新估计式优于文献[6-7]中的已有结果，数值算例也验证了结果的有效性.

首先介绍定义和有关结论.

定义1.1[12]设A(aij)Rn×n，若

则称A为严格对角占优矩阵.若aij≤0(j)，N，则称A为Z-矩阵.若A为Z-矩阵且A-1≥0，则称A为M-矩阵.

定义1.2[4]设M(mij)Rn×n，若对任意的N，i，有

则称M为B-矩阵.

命题1.1[5]设M(mij)Rn×n，且MB++C，其中

在文献[5]中，Penã等给出B-矩阵线性互补问题解的误差界估计式:设M(mij)Rn×n为B-矩阵，且MB++C，其中B+(bij) 如(1) 式所示，则

当矩阵B+的对角占优性很弱时，β为一个很小的值，则相应解的误差界(2)就会是一个很大的值.为了改进(2)式，Li等在文献[6]中得到以下新误差界估计式:设M(mij)Rn×n为B-矩阵，且MB++C，其中B+(bij)如(1) 式所示，则

在文献[7]中，Li等给出:若M(mij)Rn×n为B-矩阵，则矩阵M是弱链对角占优B-矩阵，并给出以下误差界新估计式:设M(mij)Rn×n为B-矩阵，且MB++C，其中B+(bij)如(1)式所示，则

下面继续对B-矩阵线性互补问题解的误差界估计进行研究，给出B-矩阵线性互补问题解的误差界新估计式.

§2 主要结果

引理2.1(见[11，p11]) 设A(aij)Rn×n是严格对角占优M-矩阵，则

引理2.2(见[8，p2]) 设γ ＞0且η ≥0， 则对任意的[0，1]， 有

引理2.3(见[9，p4]) 设A(aij)Rn×n， 且

则对任意的xi[0，1]，N， 有

定理2.1设M(mij)Rn×n为B-矩阵，且MB++C，其中B+(bij)如(1)式所示，则

综上所述，由(6)式和(17)式成立知(5)式成立，故定理2.1得证.

下面对(3)式，(4)式，及(5)式进行理论上的比较.

定理2.2设M(mij)Rn×n为B-矩阵，且MB++C，其中B+(bij)如(1)式所示，那么

证根据B+为具有正对角元的严格对角占优矩阵，易知0＜wj1(B+)≤l1(B+)＜1，0＜pi(B+)≤li(B+)＜1，，故有

且对任意的1≤j ≤n-1，有

于是由0＜pi(B+)＜1， (19)-(20)式，以及(22)-(23)式知(18)式的第一个不等式成立;由(21)式和(24)式知(18)式的第二个不等式成立;故(18)式成立，定理2.2得证.

§3 数值算例

例3.1考虑B-矩阵

综上，(5)式优于(3)-(4)式.

例3.2考虑B-矩阵

MB++C，其中

显然，(5)式比(3)-(4)式更精确.

例3.3考虑三对角矩阵Rn×n:

当b2.2，a-1.5，c-0.5，α时，M为B-矩阵，因此，可应用(3)-(5)式对B-矩阵线性互补问题解的误差界进行估计，具体结果见表1.

表1 (I -D+DM)-1‖‖∞的上界

表1 (I -D+DM)-1‖‖∞的上界

由表1知应用(5)式所得的结果比应用(3)-(4)式所得的结果要小，故(5)式比(3)-(4)式更精确.

上述数值算例充分说明:本文所获得的结论改进了文献[6]中的定理4，文献[7]中的定理2.