图形变换：解决几何问题的“杀手锏”

2022-06-21帅建卓

初中生世界 2022年23期

关键词：杀手锏反比例重合

文／帅建卓

“图形变换”包括平移、翻折、旋转等，一般不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置。你尝试过运用“图形变换”解题吗？告诉你，运用“图形变换”，可以让你在探究图形问题的过程中收获意外的惊喜。

一、“平移”——等量变换的捷径

例1如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点B（n，1）。点C为直线AB上方反比例函数图像第一象限内一点，且△ABC的面积为9，求点C的坐标。

图1

【思路分析】利用点B确定反比例函数表达式后需要进一步思考△ABC的面积与点C坐标之间的关系。由于△ABC没有边与坐标轴平行或重合，直接求三角形的面积比较困难。那么，能否考虑将其转化为有一边与坐标轴平行或重合的三角形呢？答案是肯定的。将直线AB向上平移且经过点C，交y轴于点D（如图2），由平行线间距离处处相等得S△ABC=S△ABD=9，从而求得则直线CD表达式为再将直线CD与反比例函数联立方程组即可求点C坐标为（1，4）。

图2

【反思归纳】我们在处理坐标与图形面积问题时，利用“平移”可达到“化斜为正”的目的，将不方便求解的三角形转化为底和高易求的图形。

二、“翻折”——线段重组的蹊径

例2如图3，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值是多少？

图3

【思路分析】本题从哪里入手呢？研读条件，我们可以发现：动点P相对于其他定点显得尤为突出，不妨从点P入手。那么点P如何运动呢？由于故△PAB中AB边上的高h=2，可见点P在距离AB上方2 个单位的直线l上运动（如图4）。一般来说，探究两条线段和最小的问题常常转化为两点之间的线段，利用两点之间线段最短来解决。要想知道点P在何处时PA+PB最小，而PA与PB又位于直线同侧，故可考虑将PA与PB两条线转化到直线两侧。转化的手段是“翻折”，将PA沿直线l翻折到PE的位置，由轴对称性质可知PA=PE，再由两点之间线段最短可知PE+PB≥BE，根据勾股定理得，即PA+PB的最小值为

图4

【反思归纳】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”结合图4，我们可以将《古从军行》中的内容抽象为，将军观望烽火后从山脚A出发，再走到河边点P处饮马，最后回到B点宿营，求马的最短行程。本例也是运用“翻折”将著名的“将军饮马”问题进行转化的经典案例。

三、“旋转”——更换位置的妙法

例3如图5，△ABC是边长为7 的等边三角形，P为平面内一点，且PA=8，求PB+PC的最小值。

图5

【思路分析】根据例2 的分析，同学们可能会由例2 的经验考虑利用“翻折”转化。这里，点A可看成定点，而PA=8，故点P可看成在以A为圆心、8为半径的圆上运动，看来“翻折”方法行不通了。可不可以转化呢？我们尝试“旋转”。如图6，将△PBC绕点C顺时针“旋转”60°，使得点B与点A重合，点P落在P′处，则△PBC≌△P′AC，PB=P′A，CP=CP′。因为恰好旋转了60°，所以此时△PP′C为等边三角形，则PC=PP′，PB+PC=P′A+PP′。在△APP′中，P′A+PP′≥PA，当A、P′、P三点共线时，P′A+PP′最小为8，即PB+PC的最小值为8。