传染病在多层星型耦合网络上的资源控制

张斯，张必山*，马忠军

（1.桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林 541004；2.广西密码学与信息安全重点实验室（桂林电子科技大学），广西 桂林 541004）（∗通信作者电子邮箱bshzhang30@sina.com）

传染病在多层星型耦合网络上的资源控制

张斯1，张必山1*，马忠军2

（1.桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林 541004；2.广西密码学与信息安全重点实验室（桂林电子科技大学），广西 桂林 541004）（∗通信作者电子邮箱bshzhang30@sina.com）

针对已有传染病传播模型没有考虑到具体的特殊网络结构与资源因素对控制疫情爆发的影响与作用机制，结合双层星型耦合网络与传染病SIS模型，建立了一个离散动态传播模型。该模型利用星型网络的结构特性与平均度概念推导各层感染人口比例关于资源及各种参数的离散方程。理论分析和仿真实验结果表明，多层星型耦合传染病传播网络中存在资源阈值，当节点为叶子节点时，网络存在两个资源阈值，增加资源量投入以抑制传染病传播只在两个资源阈值间有效，此时传染病感染人口比例随着投入资源的增加而减少；当节点为中心节点时，网络中的资源阈值随其他层感染人口比例的增大由两个减少至一个。此外，层间中心节点耦合强度、层间叶子节点耦合强度对疫情的控制效果随着节点所处位置的不同而不同。

多层网络；资源控制；传染病；SIS模型；星型网络

0 引言

信息和病毒的扩散、传播与控制作为当前多层复杂网络的主要研究方向之一，仍然是一个较新的研究领域，存在着许多具有挑战性的研究课题。到目前为止，大多数有关传染病的研究都集中在单一或单链路网络［1-9］，这显然是一种简化，因为在现实过程中，传染病往往是多渠道传染的。因此，随着具有允许节点间各种可能的连接以及各层网络之间存在交互的固有特性的多层网络这一概念的提出，多层网络逐渐被应用于研究复杂网络中的传播动力学，为研究疾病的传播提供了一种更自然的方式［10-13］。

如今，多层网络上有关传染病传播的研究工作已有不少。Chang等［14］从不同程度和状态的个体中对感染任意个体的可能性作出了流行率的明确分析，并得出了网络上离散时间感染易感性流行病的阈值，将其理论结果与蒙特卡洛模拟的结果进行了比较，发现这两种方法获得的结果具有很好的一致性。此外，他们还发现感染可能性和流行率较大时，易感人群相较于被感染人群，会被更多的被感染邻居包围，而这是在连续时间的易感性感染易感流行病动态中尚未发现的。程晓涛等［15］根据节点周边邻居节点的感染情况和权威的感染概率的计算，通过采集真实的微博网络数据进行仿真实验，从而验证了相关管控措施对传播效果的影响。叶晓梦等［16］建立了一个充分考虑免疫接种概率且具有阶段免疫特点的SIRS（Susceptible-Infected-Recovered-Susceptible）计算机病毒传播模型，并通过数值模拟证明了提高免疫接种率和设置合理的阈值可以有效抑制网络中的病毒流行。Velásquez-Rojas等［17］研究了多元网络中意见形成和疾病传播过程是如何相互影响的。Jovanovski等［18］建立了一个多重传染病SIS（Susceptible-Infected-Susceptible）模型，将不同的传播渠道和疾病整合到一个多层网络中，发现流行阈值与网络拓扑有关。Chen等［19］证明了有效分配医疗资源对控制流行病的传播至关重要。冯丽萍等［20］提出了一种改进的具有预先免疫措施的SIR（Susceptible-Infected-Recovered）计算机病毒传播模型，发现提高预先免疫率和控制节点流动可以有效控制病毒在网络中的传播。Shai等［21］研究了耦合网络上有约束SIR过程模型，模型中的节点被限制与最大数量的邻居进行交互。他们发现在没有资源约束的情况下，正相关耦合比负相关耦合导致更低的流行阈值；然而，在存在约束的情况下，前者的扩散效率低于后者。Chen等［22］假设恢复率与每个受感染个体的平均资源呈正相关，并观察到只有当资源量超过临界值时，才能有效根除疾病爆发。Böttcher等［23］认为病人的康复取决于健康人群所产生的治疗资源的可用性，他们发现，如果康复成本超过某一临界值，流行病就会失控并迅速蔓延。

上述研究都是在多层网络拓扑结构上对传染病的传播动态进行的研究，对传染病的爆发控制探讨得较少，也没有结合特殊的网络结构，而现实世界中的疫情控制问题需要结合具体的网络结构以及相应的控制机制才能有效地进行研究并解决。就以资源作为控制机制而言，当疫情开始蔓延时，若没有投入足够的资源就可能导致疫情的大规模爆发，但若超出资源阈值，则会造成不必要的资源损失，也不利于疫情后人们正常生活水平的快速恢复，因此找出资源阈值并通过资源阈值设计最优策略，最大限度地抑制疫情爆发，使疫情快速最小化是十分有必要的。受文献［16，24］研究的启发，本文通过考虑两个中心节点代表两个中心城市、叶子节点代表县城的双层星型耦合网络，并与传染病SIS模型相结合建立了相应的传染病传播模型，进一步揭示了传染病在城市中心和周边地区的传播扩散过程以及资源控制规律，这将对政府制定用于疫情控制的政策具有一定的参考意义。

1 模型建立

SIS模型假设源头的感染个体通过一定的概率将传染病传给易感个体，同时感染个体以一定的概率恢复为易感状态；另一方面，易感人群一旦被感染，就又成为新的感染源。为揭示多层星型耦合网络拓扑结构上传染病传播的资源控制机制，本文建立了如图1所示的由传染病SIS模型与两层星型耦合网络相结合的传染病传播模型。图中节点之间的链路表示疾病的传播渠道，黑色虚线表示层间对应叶子节点耦合，灰色实线表示层间中心节点耦合，黑色实线代表层内节点耦合，变量、、分别代表传染病在层间中心节点间、层内节点间、层间叶子节点间的传播概率，为模型中任何节点从已感染状态恢复到易感状态的概率。模型中任何节点都可在易感状态S和已感染状态I之间进行切换，在任意时刻，S状态的节点可以同时受到层内和层间已感染节点的感染，已感染节点也可以恢复到易感状态，直至所有节点全部恢复才会停止传染病的进一步扩散。特别地，不同于经典SIS模型中将定义为常数，本文将定义为随时间变化且受每个已感染节点所获得的平均资源R影响的参数［24］。

图1 双层星型传染病传播耦合网络Fig. 1 Two-layer star coupling network of infectious disease spread

2 模型分析

2.1 节点是叶子节点

若将A、B两层网络模拟为两个地区，则这两个地区的感染人群数量可分别定义为总人口的一部分，即：

再运用平均场方法得出式（8）：

此外，由于一个国家用于控制疫情的资源是有限的，因此，R应与该国在控制传染病中的实际财务能力有关。针对这个情况，本文假设R为一个国家的财政收入的百分比，再根据文献［22，24］，则各地区恢复概率的函数形式定义如下：

结合式（1）～式（13），可以得出：

再根据式（14），可以推出：

由于R是资源比率，因此当它取值足够小时，可进一步推出式（17）：

2.2 节点为中心节点

进一步地，可以得出：

从而推出：

则可以进一步得出：

3 数值模拟与结果分析

3.1 所测节点为叶子节点的模拟仿真

3.1.1 控制传染病爆发的临界资源阈值

由此，可以得出以下结论：Rc1的取值与无关，Rc2的取值有关，越小，Rc2越小；当且仅当R大于Rc1时，R、对才产生影响，此时随着R的增加而单调递减，且越小，对的控制效果越好。

3.1.2 耦合强度与资源数量对感染人口的影响

图2 随的演化趋势（为叶子节点）Fig. 2 Trend of varying with （ is the leaf node）

图3 不同时随的演化趋势（为叶子节点）Fig. 3 Trend of varying with when is different （ is the leaf node）

当R与一定时，与、有关。取为0.1、0.3、0.6，再分别取R为0.1、0.3、0.4、0.5、0.7、1.0，并变化，得到的如图4所示。由图4（a）可知，除R为0.1时保持不变，其他R值下的均呈单调递增趋势，其中R为0.4时的增长幅度最大，表明此时的变动对的影响最大。对比图4可以发现，无论、为何值，R为0.1时的依旧保持不变；随着的增加，R为0.3、0.4时的处于稳定状态所需要的值都越来越小，且处于稳定状态的值都越来越接近1，不同的是R为0.4时的在达到稳定状态之前的增长幅度远大于R为0.3时的；R为0.5、0.7、1.0时的由单调递增逐渐形成先单调递增后趋于稳定的变化趋势，并且处于稳定状态所需要的值都越来越小。另外，通过对比与在其他参数相同的条件下对的影响，发现在对的增长幅度的影响中大于。此外，通过对比与在其他参数相同的条件下对的影响，发现在对的增长幅度的影响中大于。

图4 不同时随的演化趋势（为叶子节点）Fig. 4 Trend of varying with when is different （ is the leaf node）

3.2 所测节点为中心节点的模拟仿真

3.2.1 控制传染病爆发的临界资源阈值

图5 随的演化趋势（为中心节点）Fig. 5 Trend of varying with （ is the central node）

3.2.2 耦合强度与资源数量对感染人口的影响

当R与一定时，与、有关。观察图7（a）可以发现，除R为0.1时的保持不变，表明此时的变动不影响，其他R值下的均呈单调递增趋势，其中R为0.4时的增长幅度最大，表明此时的变动对的影响最大。

图6 不同时随的演化趋势（为中心节点）Fig. 6 Trend of varying with when is different （ is the central node）

图7 不同时随的演化趋势（为中心节点）Fig. 7 Trend of varying with when is different （ is the central node）

4 结语

与以往只考虑单层网络而不考虑资源因素的研究不同，本文不仅考虑了两层星型拓扑结构，还考虑了控制疫情的资源量投入。根据本文对叶子节点、中心节点问题的研究发现，当疫情爆发点为本地区某一县城时，由于其他地区的疫情控制受其当地政府的管辖，不在本地区控制范围之内，因此本地区快速控制疫情的策略为：首先增加本市的资源投入，其次采取措施减少县城之间的传播渠道，最后减少两地区中心城市的来往。当疫情爆发点为中心节点也就是本地区中心城市时，本地区快速控制疫情的策略为：首先增加本市的资源投入，其次采取措施减少两地区中心城市的来往，最后减少县城之间的传播渠道。

同样重要的是，通过对数值模拟结果的对比与分析可以发现，无论传染点处于叶子节点还是中心节点，较小的资源阈值均为0.3，但此时，无论其他层感染人口、层间中心节点耦合强度、层间叶子节点耦合强度为何值，对本层感染人口的控制效果都十分微弱。而当资源量为0.4时，通过对层间中心节点耦合强度、层间叶子节点耦合强度的调节，也就是对中心城市之间、县城之间的交通进行调节，就可以很好地控制疫情，节约了宝贵的社会和医疗资源，这对政府控制疫情具有重要的参考意义。

虽然本文得到的结果都是定性的，与遵循网络拓扑结构特有性质的参数选择无关，但模型在许多方面都作了简化。例如，在更现实的情况下，传染病会在两层以上的网络进行传播，而本文的模型只考虑了两层网络；不同的子网络会有不同的节点数，但本文的模型假设两个子网络中的节点数相同。另外，本文模型忽略了噪声的影响，而噪声能引起动力系统不同状态之间的随机切换［25-26］。而且由于传播因素或环境的不确定性，在传染病传播过程中噪声是不可避免的。因此，在考虑资源投入因素的情况下，噪声对传染病传播的影响是一个值得研究的课题。

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Resource control of infectious disease in multi-layer star coupling network

ZHANG Si1， ZHANG Bishan1*， MA Zhongjun2

（1.College of Mathematics and Computing Science，Guilin University of Electronic Technology，Guilin Guangxi541004，China；2.Guangxi Key Laboratory of Cryptography and Information Security（Guilin University of Electronic Technology），Guilin Guangxi541004，China）

Concerning that the existing infectious disease spread model do not consider the influence and mechanism of specific special network structure and resource factors on controlling infectious disease outbreak， a discrete dynamic propagation model was established by combining the two-layer star coupling network with the Susceptible-Infected-Susceptible （SIS） model of infectious disease. In this model，the structural characteristics and the concept of average degree of the star network were used to derive the discrete equations of the proportion of infected population in every layer with resources and various parameters. Theory analysis and simulation experimental results indicate that， the multi-layer star coupling infectious disease spread network has resource thresholds. When the node is a leaf node， the network has two resource thresholds. Increasing the number of resources to control the spread of infectious diseases is only effective between the two resource thresholds. At this time， the proportion of population infected with infectious diseases decreases with the increase of resources invested. When the node is a central node，the resource threshold in the network reduces from two to one with the increase of proportion of infected population in other layers. Additionally， the control effect of the coupling strength of the inter-layer central node and the inter-layer leaf node on the epidemic varies with the location of the nodes.

multi-layer network; resource control; infectious disease; Susceptible-Infected-Susceptible (SIS) model; star network

TP391.9；O231.5

A

1001-9081（2022）05-1547-07

10.11772/j.issn.1001-9081.2021030491

2021⁃03⁃31；

2021⁃07⁃15；

2021⁃07⁃15。

广西科技计划项目（桂科AD20297006）；广西密码学与信息安全重点实验室研究课题（GCIS202129）。

张斯（1994—），女，四川达州人，硕士研究生，主要研究方向：复杂网络上的传播动力学； 张必山（1969—），男，四川达州人，副教授，硕士，主要研究方向：复杂网络上的传播动力学； 马忠军（1973—），男，湖南隆回人，教授，博士，主要研究方向：复杂网络上的群体动力学。

This work is partially supported by Guangxi Science and Technology Program （Guike AD20297006）， Research Project of Guangxi Key Laboratory of Cryptography and Information Security （GCIS202129）.

ZHANG Si， born in 1994， M. S. candidate. Her research interests include propagation dynamics on complex networks.

ZHANG Bishan， born in 1969， M. S.， associate professor. His research interests include propagation dynamics on complex networks.

MA Zhongjun， born in 1973， Ph. D.， professor. His research interests include group dynamics on complex networks.