分段函数应用于线状GNSS高程拟合的可行性研究

黎 剑，程 功，陈 占,聂俊堂

(昆明冶金高等专科学校测绘学院,云南 昆明 650033)

0 引 言

GNSS高程是基于WGS-84椭球面的大地高H，而实际测量工程则采用以似大地水准面为基准面的正常高Hr，两者间的差距(即高程异常ξ)导致了GNSS高程在应用上的问题。因此，如何高效、精确地实现从大地高H向正常高Hr的转换成为许多测量工作者亟待解决的问题。

GNSS高程拟合模型大体分两类：线状拟合模型和面状拟合模型。面状拟合模型种类多，各有优缺点，曾有同行进行过综合模型以及分区拟合的实验研究，均取得理想效果；线状模型种类相对较少，最常用的是多项式曲线拟合模型和三次样条曲线拟合模型,其原理是根据高程控制点的平面坐标X或Y及其高程异常值ξ，通过构造一个插值函数来拟合线状工程沿线方向上的似大地水准面曲线，然后据此内插其它点的高程异常。

本文将从三次样条函数及其插值的定义入手，根据其性质和严密的数学推导过程构造出分段高程异常函数的表达式，并将其运用到GNSS高程的线性拟合中。

1 分段高程异常函数的构造

1.1 三次样条函数的定义

若函数S(x)∈C2(a,b)， 且在每个小区间[xi,xi+1]上是三次多项式，其中a=x0

据此，可构造出分段高程异常函数ξ(x)。 具体做法是在高程异常拟合中，将三次样条函数S(x)用高程异常函数ξ(x)代替，并以xi(或yi)表示控制点的纵坐标(或横坐标)，则可将三次样条函数的思想应用于线状的高程异常拟合中。

1.2 构造分段高程异常函数ξ(x)

因为ξ(x)在区间[xi,xi+1]上是三次多项式，故ξ″(x)在[xi,xi+1]上是线性函数，设其二阶导数值为ξ″(xi)=Mi(i=0,1,…,n)，则

(1)

式(1)中，hi=xi+1-xi。

对ξ″(x)积分两次，并根据三次样条插值函数的定义定出积分常数，得到高程异常函数的表达式为：

(2)

1.3 确定未知量Mi

为确定未知量Mi，对ξ(x)求导得:

(3)

根据ξ(x)在[a,b]上二阶导数连续，在节点处满足连续性条件S′(xi-0)=S′(xi+0)，将(3)式代入该条件中得：

μiMi-1+2Mi+λiMi+1=di

(4)

(5)

要求出ξ(x)，需要在每个小区间上确定4个待定系数，通常可在区间的端点上各加一个条件，称为边界条件，分别用m1和mn表示。m1和mn为样条曲线边界的一阶导数，即边界的斜率，可以利用边界的4个已知点求出边界的斜率[4]。

常见边界条件有3种：

3)当f(x)是以xn-x0为周期的函数时，则ξ(x)也是周期函数，此时：

ξ(x0+0)=ξ(x0-0)，ξ′(x0+0)=ξ′(x0-0)，ξ″(x0+0)=ξ″(x0-0)。

(6)

(7)

线性方程组(7)式是关于Mi的三对角线性方程组，此方程组中的系数矩阵元素λi，μi已完全确定，并且满足λi≥0，μi≥0，λi+μi=1。因此系数矩阵为严格对角占优矩阵，从而方程组(8)有唯一解[4]。

1.4 确定分段高程异常函数ξ(x)

式(7)求解方法为追赶法，将解得结果代入式(2)即可确定分段高程异常函数ξ(x)。

(8)

式(8)即为所构造的分段高程异常函数与控制点的x坐标(或y坐标)相关的函数，这一函数为分段函数，对应每个区间有相应的表达式，代入区间内的任一x坐标(或y坐标)，即可求出该点的高程异常。

2 实例计算

2.1 实例数据

表1为某新修高速公路的GNSS控制网数据，公路全长约 35 km，控制点全部实测了四等水准(由于篇幅原因，只给出部分数据)。

表1 控制点数据Tab.1 Data of the control point

2.2 拟合方案

为验证所述方法的可行性，分别利用5个已知点和10个已知点2种方法进行拟合计算，并运用Matlab软件按上节所述方法分别进行拟合计算，拟合曲线见图1，拟合残差曲线见图2。

图1 Matlab拟合曲线图 图2 2种方案精度对比图Fig.1 Fitting curve of Matlab Fig.2 Precision comparison of the two schemes

图1中红色点表示已知点，其余点表示拟合点。将拟合结果与已知高程异常值进行比较，并求出差值及中误差，结果见表2。由图1可以看出，拟合曲线实际上是由分段的三次多项式曲线拼接而成的连续曲线，在连接点处，不仅函数自身连续，其一阶导数和二阶导数也是连续的。

2.3 拟合精度

1)由图2可知,将2种方法对相同点拟合的精度进行对比，用10个已知点拟合的残差曲线相较于5个已知点来说相对平稳，证明稳定性较高；2种方案体现出相同的变化趋势，证明方法可靠。

2)分别计算用5个已知点和10个已知点2种方法拟合的内符合精度和外符合精度，结果由表2、3可知，增加拟合点数量后，内符合精度变化不明显，说明拟合点数量增加，可以提高拟合精度。

3)由表3可知，利用构造的分段函数拟合高程异常值与已知的高程异常值差值较小，最大残差不超过 3 mm，在工程应用中，可替代四等水准测量。

表2 不同已知点的拟合精度对比Tab.2 Comparison of fitting accuracy of different known points mm

表3 高程异常值拟合结果Tab.3 The height anomaly value fitting results mm

3 结 语

本文引入分段函数的思想，构造分段高程异常拟合函数，经过实验计算可以看出：利用分段高程异常函数拟合线状GNSS高程，确定函数表达式后只需将坐标值代入对应的分段函数表达式内，即可求任一点的高程异常，过程准确严密，实验结果准确可靠，证明了利用分段函数拟合线状GNSS高程的可行性。

此外，笔者同时也用Y坐标进行了拟合实验，实验结果证明:利用X进行拟合的精度高于利用Y的拟合精度，原因有待于进一步研究。为得到良好的拟合结果，拟合前有必要对异常数据进行判定和剔除。