变量替换法在数学分析求解中的应用

张雪康

摘要. 变量替换法是数学分析计算中的一种重要方法。为了进一步帮助学生加深对该方法理解和应用，本文利用适当的变量替换法，研究了函数的极限、导数以及积分的运算等问题。

关键词：变量替换;数学分析

数学分析是安徽工程大学统计学本科专业最重要的一门基础课，同时它也是同学们报考数学类专业硕士研究生的专业考试科目。其中，函数的极限、导数以及积分的运算等概念即是数学分析中的重要知识点，也是学生们学习数学分析这门课的基础。这些知识点主要是通过定义的形式进行阐述的，是比较抽象的。在这门课程的教学中，如果老师们仅仅只是给学生们讲解、分析这些基本定义，学生们一般很难较为全面地掌握这些知识点。这势必会给学生们学好数学分析这门课程带来一定的困难。为了进一步加强学生对这些基本概念的理解和认识，帮助他们增强综合运用各种解题技巧和方法的能力，进而提高他们发现问题、分析问题以及解决问题的能力，我们给出了部分具有代表性的例题，这些例题既具有基础性又具有技巧性，这将有助于开拓学生的解题思路，启发学生的思维，不断增强学生的数学分析能力和应用能力。

变量替换法是数学分析计算中的一种重要方法。它主要针对的是一些结构较为复杂、变元较多的数学问题，通过引入一些新的变量进行代换，来简化其结构，以此来达到解决问题的目的，是一种简便易用的计算方法。变量替换法通常可以为我们简化相应的数学计算，降低计算的复杂度。为了帮助同学们更好地理解和掌握变量替换法，本文将通过一些具体实例，研究数学分析中的函数极限、复合函数求导以及积分运算等问题。笔者主要利用变量替换法构造新的变量，将所研究的实例转化为新的数学表达形式，从而利用基本分析方法对新的数学表达式进行求解。为了更加清晰、直观地体现我们的解题思路，我们不仅给出了每一个实例的具体分析思路，而且针对每一题题型的结构特点也给出了详细的计算过程。

数学分析中的极限、导数以及积分运算等求解问题的研究对象主要可分为含有一个自变量的函数和含有多个自变量的函数。若只含有一个自变量的函数，则称之为一元函数。若含有多个自变量的函数，则称之为多元函数。多元函数是一元函数的推广，它具有一元函数的许多性质，但自变量的增加也导致了一些新的性质出现，在讲解这部分内容时即要注意多元函数与一元函数的联系，又要注意与一元函数的区别。对于多元函数的求解问题，本文主要以二元函數为例，循序渐进，深入讲解，帮助学生熟练掌握二元函数的有关理论和方法，切实打好学生的数学分析基础，从而进一步加强学生逻辑思维能力的培养。

在本文中，笔者主要阐述变量替换法在极限、导数以及积分运算中的应用。我们精选了部分能够反映极限、导数以及积分运算等章节基本知识点和基本方法的典型例题，并给出了详细的分析思路和解答过程，以此来进一步突出变量替换法在数学分析解题中的重要应用价值，最终能够促进学生综合解题的能力的提升。下面，我们将给出一些具体实例。

一、变量替换法在函数极限中的应用

极限是数学分析中的一个重要知识点，而且数学分析中几乎所有的概念都可以借助极限来进行定义。可以说，数学分析的基本方法就是极限的方法。因此，极限对数学分析有着非常重要的作用。

例1.求.

分析：上述所求极限针对的是一个结构较为复杂的一元函数，如果直接对其进行求解，则计算过程将变得比较烦琐冗长。为简化其计算过程，我们采用变量替换法。通过观察，不难发现，所求极限函数的分子与分母中都可以化简成为均含有和的函数。因此，先考虑变量替换。假设存在一个新的变量和一个大于0的常数，令变量等于，常数等于。那么，我们就可以很容易地将这个较为复杂的函数转化为一个分子分母均含有和的分数表达形式。随后，不难看出得到的分数表达式的分子与分母均可因式分解，故利用因式分解法分别对表达式的分母和分子进行因式化简。最后，利用消元法求其极限。具体步骤如下。

解：首先，对所求的极限函数作变量替换。假设存在一个新的变量和一个大于0的常数，使得变量等于，常数等于。那么，变量趋近于常数这个条件等价为变量趋近于。则原式等于<<Eqn00108.wmf>>。由函数的分子可分解为与两个函数的乘积，分母可分解为与两个函数的乘积。上述极限函数的分子分母同时除以共同的因子，可将上式转化为。最后，计算当趋近于时，可得函数所求函数的极限为根号下除以1除以根号下与的乘积。最后，将等于代入上述所得到的极限可得该函数的极限为2倍根号分之一，即。

上述主要利用了变量替换法和消元法了研究了一元函数的极限求解问题。为了让同学们能够清晰直观地看出多元函数极限求解与一元函数极限求解之间的联系，我们计算了下面的二元函数的极限。

例2. 求

分析：该题考虑的是对一个二元函数求极限的问题。不难发现，这个二元函数的结构具有一个很好的特性，极限函数的第一个分数的分母为和乘数中都有一个共同的元素。因此，如果将视为一个新的变量，那么，我们就可以把这个二元函数极限的求解问题转化为一个简单的一元函数极限求解问题。也就是说，这个二元函数求极限的问题将退化为一个一元函数求极限的问题。这也就很好地说明了二元函数求极限的研究实质上就是对一元函数求极限研究的推广。针对例题2，我们将采用变量替换法来研究这个二元函数的极限求解问题。详细步骤如下。

解：假设存在一个新的变量，使得变量等于的平方与的平方之和成立。那么所求极限中的趋近于0和趋近于0这两个条件就可以用一个条件趋近于0来代替。也就是说，所求极限中的趋近于与新的变量趋近于0是等价的。故此题所研究的二元函数极限求解问题就可以等价变换为一个形式相对简单的一元函数极限求解问题，可得等于5乘以。最后，利用数学分析中的第一个重要极限公式：当z趋近于0时，除以的极限为1这个性质，可得此题的极限等于5。

二、变量替换法在函数求导中的应用

在对复合函数求导时，使用频率最多的就是变量替换法。这里面主要运用的方法就是复合函数的求导法则：链式法则。在运用链式法则时，同学们必须要注意到复合函数中哪些是自变量，哪些是中间变量。只有这样，我们才能够正确使用多元复合函数求导中的链式法则。在对复合函数的求导数时，我們常常会引入一些新的中间变量，并将所研究的复合函数转化为多个形式相对简单的函数导数的乘积，以此来利用复合函数中的求导法则，从而计算出函数的导函数。需要指出的是，这里引入的中间变量对函数导函数的表达形式是毫无影响的，它们只是起到了过渡的作用。值得注意的是，引入的中间变量可以是多种形式的，具体要采用哪一种形式，要看哪一种能够极大地简化我们能的运算。因此，采用变量替换法也是具有较高的技巧性。

例3.求的导函数

分析：不难看出，本题所研究的是一个一元函数的求导问题。为了计算出这个函数的导函数，我们计划利用多元复合微分法对其进行求解。针对所研究对象的结构，我们有如下解题思路。若直接选择引入一个中间变量，其中等于。那么，所计算的一元函数就可看成等于和等于两个函数的复合函数。当对这个复合函数求导时，我们发现需多次使用链式法则，才能获得它的导函数，致使该函数的导函数计算过程较为复杂。考虑到函数导函数的求解结果与引入的中间变量无关，笔记考虑引入另外一个新的中间变量求解它的导函数。因此，我们考虑引入一个新的中间变量，其中等于cos2x。这时，所研究的复合函数就可转化为等于和两个函数的复合函数。此时，经过基本分析，我们发现只需利用一次链式法则，即可获得所求函数的导函数，这极大地简化了我们计算复杂度。具体步骤如下。

解：作变量替换，令z等于，则所求函数为等于，那么，利用复合函数的求导法则，可知函数的导数可以转化为与的乘积，其中等于除以，等于2乘以。可得原式等于<<Eqn00172.wmf>>除以。将等于代入可得的导函数为除以。

3.变量替换在积分中的应用

在对一个积分进行求解时，笔者发现数学分析中所计算的大部分积分是无法直接利用已知公式简单推导得出的。针对这种情况，我们一般可以适当地利用变量替换法将所求积分转化为一个新变量的积分，随后再利用已知的基本积分公式、欧拉积分等工具，对新的变量积分进行求解。

例4. 求

分析：不难看出，这个积分是一个含参量的反常积分。首先，利用传统的含参量非正常积分判别法判断它的一致收敛性。目前，含参量反常积分的一致性判别法主要有魏尔斯特拉斯M判别法、狄利克雷判别法以及阿贝尔判别法。在含参量反常积分在某一个区间具有一致收敛性的基础上，再根据数学分析书中的含参量反常积分的性质中的可积性定理判断它的可积性。最后我们才能进一步对反常积分进行求解。在一般情况下，对反常积分直接进行求解是相当复杂的。通常情况下，针对这类含参量反常积分，可以通过分析被积函数的结构，利用恰当的变量替换法对反常积分的结构进行变换，随后对其进行求解。针对上述的例4，可知该反常积分的瑕点为正无穷。通过对这个反常积分结构形式的观察，我们发现被积函数的分子可以转化为含有的函数，分母也可以转化为含有的函数。即，分子等于和分母16+x4等于。显然，分子与分母中都存在着一个共同的元素。所以，可以利用变量替换法，先将所求积分进行变换。假定存在一个新的变量等于，则所求的反常积分将可以转化为含有变量的的积分，即为。显然，这个反常积分的结构形式与我们常见的欧拉积分结构形式很相似。基于这个想法，可以考虑将此反常积分进行结构变换。要让积分结构发生变换，就要用到变量替换法。因此，为了将这个反常积分转化为学生们所熟悉的欧拉积分，笔者再次利用变量替换法。再进一步假设，存在一个新的变量等于y/（1+y），则该反常积分将转化为一个含有变量的欧拉积分，即为。需要指出的是，这个欧拉积分是学生们比较熟悉的贝塔函数。接下来，我们就可以利用贝塔函数和伽马函数之间的性质来对这个欧拉积分进行求解。具体步骤如下。

解：作变量替换，假设存在一个新的变量等于，则原式等于再进一步假设存在一个新的变量等于。那么，上述反常积分就可以变换为含有变量的积分。利用欧拉积分中的贝塔函数的性质可将瑕积分转变为贝塔函数的表示形式，即。又由贝塔函数与伽马函数之间的性质可得等于与的乘积再除以。使用伽马函数性质可知与的乘积等于除以，而且等于1。因此，可得等于除以。综上所述，可得此题反常积分的值为除以。

四、结语

通过上述4个例子，可以看出变量替换法在数学分析求解中占据着重要的作用，它可以极大地简化我们的计算过程。它更是一种极其有效的解题方法，在处理一些复杂函数求极限、复合函数求导以及积分运算等问题上，效果尤为显著。通过例1，可以发现在计算函数极限时，利用变量替换法可以简便我们的计算过程，缩短计算时间。通过例2，可以看出在对一个多元函数进行极限求解时，变量替换法依然是有效的。而且，还能帮助我们将二元函数极限求解问题转化为一元函数的极限求解问题，使得学生们可以迅速快捷地解决多元函数极限问题。通过例3，不难发现，变量替换法中的替换变量的形式是非常多的，那么如何选择适当的变量进行代换，简化题目的求解过程，就有着极其重要的作用。因此，同学们如何寻找合适的变量替换是非常具有技巧性的。要做到这一点，就需要同学们针对性地多加练习此类题目，寻找规律，掌握方法，也要勤于思考，会举一反三，学有所思，学有所得，学有所悟。善于观察发现题目的结构形式和隐藏的题干信息，透过现象看本质，准确把握住题干运作的逻辑原理，对我们灵活运用变量替换法具有重要的作用。通过例4，不难发现，有时对于一个题目可以多次使用变量替换法来简化我们的计算过程。具体地，要根据题目的结构形式，有效地分析题干的信息，善于利用已知的运算方法对一个题目进行求解。所以，当学生们在做题目训练时，不是先急着进行验算求解，而是要对逐步分析题目所给的信息，理清所给题目的信息脉络，寻找隐藏在题干中的重要线索，进而与自己熟知的知识体系相融合，从而更加高效快捷地解决问题。

本文通过一些典型的实例阐述了变量替换法在数学分析求解中的几点重要应用。不仅说明了变量替换法在一元函数的极限、导数以及积分运算等问题中的应用，而且也说明了变量替换法在二元函数极限、导数等问题求解中依然是有效的。变量替换方法除了在上述三点方面的应用外，在解析函数微分方程结构、复合函数的偏导数、无穷级数以及曲面积分等方面都有着广泛的应用。因此，在数学分析课程教学中应重点强调变量替换法的理论方法和技巧，深入讲解，教会学生们熟练掌握和灵活运用变量替换法，来进一步提高解题能力，确保学生们能够学好用好数学分析知识，并逐渐形成稳固、扎实的知识网，从而为提高数学思维水平夯实基础。

参考文献：

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[4] 王炳顺. 高等数学中“变量替换法”应用探讨[J]. 平顶山工学院学报， 2007， 16（4）： 75-77.

本文系安徽工程大学教学研究项目：统计学专业金融类课程教学体系改革——基于学科交叉视角（2021jyxm23）的阶段性成果。