让简单的“错”闪烁理性的意蕴

刘德宏

编者按

大数据背景下小学典型错题资源库的建设和利用，为数学学科教学带来更多辅助和支持，对全面提高教师设计能力、培养学生学习思维、增强学生学习品质有重要的现实帮助。学生在数学理解、计算、运用中容易出现一些错误，教师借助大数据对此做具体分析，能够形成科学梳理和归结。如果教师在执教过程中有充分预设，给予学生针对性提醒，就可以大幅度减少错误的发生。大数据应用于典型错题资源库建设已获得突破性进展，后续完善工作正在顺利推进，期望在不久的将来获得更多突破。大数据对典型错题资源库建设形成多点支持，数学学科教学借助大数据做教学探索，其实践效果显著，对推动学科核心素养培养进程有着不可替代的作用。本期推出“大数据支持典型错题资源库建设和应用”研究组成员的五篇文章，以飨读者。

[摘  要] 一个理性的教师，面对学生的学习错误，不应对学生进行责备与简单纠偏，而应该对错误进行精准甄别，并灵活地加以引用，使之成为学生再度学习知识、积累基本数学经验、发展数学思维的资源，让错误成为学生数学素养不断积累的重要资源。为此，在教学中，教师要善于应用将错就错、诱导犯错等策略，以达成加速学习理解深入、促进学习建构的基本目的，使得數学教学精彩连连、智慧闪烁。

[关键词] 错误;资源;利用;理性;思维

“没有错误的学习”，这样的理想是丰满的，但现实却是骨感的。因为学生的数学学习是在错误的纠偏中、偏差的反思中回归正位的。同样，他们的数学活动经验也需要通过反刍错误来磨砺，其数学思维更需要错误来锤炼。所以一个智慧型的数学教师，他能够正视学生所犯的五花八门且富有“特色”的错误，包括学生在课堂上出现的各种富有创意的错误，在练习中显露的不足等，并能够敏锐地抓住它们，灵活地处置它们，使之成为学生学习研究的新素材，成为学习建构的新资源。

一、将错就错，诱发思考

失败是成功之母。错误是失败的一种表现，它也是小学生理解知识、掌握知识，以及训练思维的利器。为此，在数学教学中教师要善于把握和利用好这些错误资源，达成“变废为宝”的目的。也正是经过这样的灵动处理，错误才能诱发学生对学习的再回顾，对问题的再反思，进而促进他们对数学问题的深入思考，加速正确学习认识的领悟与建构，最终让数学学习变得更理性，也使数学教学变得更富活力，充盈着智慧的氤氲。

如，在三年级“24时计时法”教学中，当学生逐步梳理出“12时计时法”和“24时计时法”两种计时法的转换方法时，教师就会设计相应的巩固训练活动，旨在让学生在练习中对两种计时法转换方法的正确理解和灵活应用，并帮助学生初步建构“24时计时法”的数学模型。然而，学生的课堂表现，往往会出乎教师的预料，甚至是错误不断。

请看“24时计时法”的一个教学片段：

师：经过这一阶段的学习，你能用所学习的知识思考下面的问题吗？

（屏幕显示：凌晨5时是几时？）

生1：这个太简单了，是17时啊！

师：噢！是这样吗？你是想考考老师能不能解决这个问题，是吧？那我们先把它放在一边，看看后面的一个问题。解决它之后，我们再前后联系起来看一看，好吗？

（投影呈现：17时是下午几时呢？）

生2：是下午5时啊！这是很明显的。

……

师：你是怎么知道的呢？为什么会这么快地做出回答呀？

生2：这不是很简单的吗？一天时针旋转2圈，17时肯定是超过一圈了，所以就在下午了。

生3：是的！17时已经超过12时了，它不应该在夜里，所以只能在下午了。

师：哦！看来大家对17时的理解还是蛮深刻的。超过中午12时，就是下午了，用“24时计时法”如何表示它们呢？

生4：在“24时计时法”中下午或者晚上的表示都必须大于12，应该用那个时刻的数加上12才行。

生5：简单地说，下午的时间要加上12才是“24时计时法”的时间。

师：有道理！那回过头来，看看这个同学考老师的问题，你们有什么话想对他说？

生6：你的回答是错的，你看问题是“凌晨5时是几时”，凌晨就是上午啊，它是不会大于12时的。

生7：如果是17时，它对应的是下午5时，这里是凌晨5时，所以你回答错了。

……

生8：上午的0时到12时时针还是在第一圈里走的，是不需要加上12的，直接就是几时。

生9：是的！上午的时间转化成“24时计时法”的时间是不需要加12的，是几时就直接写成几时。

……

这是一个简单的错误，学生的回答真的会超乎教师的预设，但是它却真真切切地发生了。面对这样的错误，教师该如何办？是直接纠偏，还是善加利用，使之成为学生再学习、再研究的素材呢？教学片段中，执教者已经给出一个最为理性的应答，也正因为执教者的睿智处理，把错误变成了宝贝。

面对学生的回答，执教者不是直接否定，而是风趣地转变为“你只是想考考老师，是吗”，并沿着学生的回答延伸开来，先引导学生探究与理解17时的由来。当学生经历争辩与反思的学习活动后，他们会更加清晰地领悟到，“24时计时法”针对上午、下午的表述方式，以及其中蕴含的原理。在明晰上午的时间还是时针在第一圈里转动的原理后，他们会更加深刻地理解“24时计时法”与“12时计时法”之间的内在联系，能够明白它们之间的转化道理，从而使得这部分知识的学习变得更加有效果、认知建构也更加牢固。

二、捕捉错误，引发争辩

错误的出现有时是昙花一现般的，需要教师敏锐地捕捉，并灵活地加以运用，只有这样才能发挥其诱思、激思的作用。为此，在小学数学教学中，教师应时刻关注课堂教学的实况，精准地把脉师生互动、生生互动中的各种现象，善于捕捉一些有差错、有问题的细节，让错误成为学生再学习、再思考的可贵素材，成为数学知识建构的重要宝库。

请看三年级“轴对称图形的认识”的教学片段：

师：经过折纸活动，你发现长方形的对称轴有多少条呢？

生1：有2条。

……

生2：老师，他们说的不对，应该有4条。

师：噢！你认为有4条，而他们却认为只有2条，那到底是怎么回事呢？你愿意把自己的分析思考说给大伙听听吗？

生2：我认为有4条，分别是横着对折的1条，竖着对折的1条，还有对折2条斜线的，所以一共是4条。

生3：斜着对折，两边没有重合呀？

生2：哎！斜着对折，是没有重合，但是分成的2个三角形却是一模一样的啊！

生3：好像也有些道理啊！

……

生4：我们小组研究后发现，只有2条，因为轴对称图形是指沿着对称轴对折后两边的图形完全重合，而不是像，也不是指剪下来后的两个图形是一模一样的。

生5：是这样的，轴对称图形是对折后两边能够完全重合的图形，长方形斜着对折，两个三角形不重合，尽管剪下来的两个三角形是一模一样的，但这不是对折后的重合，所以这2条折痕不是长方形的对称轴。

……

师：那长方形的对称轴到底有几条，你们明白了吗？

生6：是2条，图形的对称轴一定是使对折后图形的两边完全重合的线。不能通过比较剪下来的图形是否一样来判断。

……

师：长方形的对称轴有2条，那正方形呢？

……

错误是难以避免的。也许正是因为错误的存在，才使得争辩有了机会，才使得真理越辩越明。教学片段中，执教者面对这个学生勇敢的表现，没有责备，而是以此为契机，引导他们对轴对称图形的认识进行了一次再研究活动。

当学生再度回到折纸活动之中，他们能够清晰地认知长方形对称轴的存在，也在辩论中进一步明晰轴对称图形的意义。因为争辩，他们更加明晰轴对称图形不是看着一样的图形，也不是剪开后能够重合的图形，而是对折后两边能够完全重合的图形。一个简单的错误，只要引导得法，它就有出乎我们预料的实效，就能更好地激发学生的创造潜能，也会助推他们学习思考、学习交流，以及学习反刍能力的发展。

三、诱导犯错，促进反思

创设一个诱导学生犯错误的学习情境，是一种教学智慧。这种情境不仅能更好地抓住学生的学习注意力，还能帮助学生反思自己的学习历程，最终让教学学习更智慧，让知识建构更牢固。

请看六年级“圆锥的体积推导”的教学片段：

师：谁愿意把自己的实验结果说一下？

生1：我们发现把圆柱盛满沙子，倒入圆锥容器中正好是3次，说明圆柱的体积是圆锥的3倍，那么圆锥的体积就是圆柱的三分之一。

生2：我们的是3次还多一些，接近4次的樣子。

生3：我们是3次还不到。

……

师：有这么多的结论啊！那就再来看看老师的实验吧！

（教师演示，把圆柱盛满沙子，倒入圆锥中，1次、2次、3次、4次，正好倒满了。）

师：你们看到这个结果了吗？想说些什么？

生4：不对呀，老师，书中不是有结论吗？圆锥的体积是圆柱的三分之一的呀！

生5：怎么会这样呢？是不是老师你的圆柱拿的大号的呀？

生6：可能是，我们小组的圆柱可能选了小号的。

生7：难道问题出在圆柱与圆锥身上？

生8：可能是的，你看我们小组选的圆柱与圆锥，它们的底面大小是一样的，高也是一样的，我们的结论就和书中的一样。

……

师：看来同学们都意识到了问题的关键所在，要做好这个实验，我们该怎么办？

生9：选择底面和高都相等的圆柱和圆锥容器去做实验。

生10：底面和高一样，才能做出符合书中要求的实验。

生11：我明白了，圆柱与圆锥只有在等底等高的情况下，才具有3倍的体积关系。

……

有时候，教师也需要主动“犯错”。教学片段中，面对学生的不同结论，执教者没有直接纠正，而是以错诱错，也来演示一个错误的实验，让学生在惊讶中反思，“为什么老师的实验结果会与书中的不一样呢”“在哪个方面出现了问题呢”等。疑问会诱发思考，也会促进学习的比较。当一组学生说出“难道问题出在圆柱与圆锥身上”时，问题被聚焦了，研究方向也就更加确定了。当再度审视自己的器具时，学生便发现了问题所在，进而逐步整理思绪，使得圆锥体积的推导变得更加理性，更加科学。

没有错误的教学是教师最美好的愿望，但是教师应该清醒地认识到，学生的思维水平、知识积累、经验储备等都各不相同，是有差异的，所以学生才会表现出不同的学习偏差、思维差异等。为此，教师需要做的是，正视学生的个性，分析学生在数学学习中出现的各种各样的问题，并灵活地予以引用，使之成为他们再学习的资源，并以此助推学习思考的深入，助力数学知识的有效建构，助推数学素养的不断积累与发展。