FRP材料动态本构模型综述

郝仙娟， 许有纯， 舒营

（1.西京学院，西安 710000；2.安徽理工大学，安徽 淮南 232001）

0 引言

纤维增强复合材料（FRP）在各个领域的应用得到颇多关注，但是FRP材料在使用期间，可能会受到不同程度的冲击荷载作用。例如，飞机在起飞或降落过程中遭受的荷载冲击，此冲击如同超速运动的石块或是碎片撞击机身；冰雹风暴天气中，飞机所受损害与受到物体冲击带来的伤害无区别。不同的冲击荷载作用下，FRP材料不仅受到显而易见的外部损伤，还有不可估量的内部损伤。内部损伤会严重影响材料的强度和刚度，还会导致材料内部裂纹延伸。

随着经济的快速发展和计算机技术的日益成熟，数值分析成为较多研究者的首选方法，它不仅节约资金，还可以使物体破坏过程再现，以获取在试验中不易获得的相关物理量。材料的本构模型是开展数值分析的前提。在应变率作用下，复合材料的破坏形态复杂多样，本构模型比较难以表达。为攻破这一难关，学者们纷纷开展探讨。文中从细观力学方法和宏观唯象方法两个方面展开叙述FRP材料动态本构模型。细观力学常用的方法有Eshelby等效夹杂理论、自洽理论、Mori-Tanaka方法等［1-3］。

1 细观力学方法

细观力学［4］是从微观角度对复合材料进行结构分析，揭示宏观材料的有效性能。研究不同材料组合产生不同性能的原因，才能有针对性的设计出最佳的复合材料结构，满足实际工程需求。

1.1 粘弹性本构模型

在动态破坏过程中，不会看到复合材料出现塑性变形，也不会出现跟金属材料相似的屈服强化过程。因此，复合材料的黏弹性本构模型得到较多关注。

粘弹性本构模型［6］的统一形式是：任意时刻t粘弹性介质的应变为弹性部分和流变部分之和，即：

Wang等［7］用1个线弹性单元与多个Maxwell体平行连接方法，创建了复合材料粘弹性动态本构模型。该模型用于单向复合材料在高应变率作用下的力学性能研究，其中的相关参数是由不同应变率试验数据拟合而来。

式中，E0为弹性模量通常称为松弛时间。

Karim［8］是假设碳纤维和基体分别为线弹性材料、线性粘弹性材料，并把经典层合板理论和复合材料粘弹性动态本构模型（1个线弹性单元与多个Maxwell体平行连接）相结合，得到复合材料动态本构模型。

式中，Ee为平衡模量；E1和E2是与时间有关的模量；θ1和θ2是特征松弛时间；为恒定应变率。

古兴瑾在 Kairm［8，9］的动态本构关系研究基础之上，采用1个线性弹性单元与2个Maxwell体平行连接的方法，对复合材料与应变率相关的三维本构关系进行推导。

1.2 桥联模型

桥联模型［10-13］中的纤维组分应力和基体组分应力之间用一个矩阵来连接，它的纤维应力和基体应力是由总应力来确定的。桥联模型可用于分析纤维增强复合材料的弹性和非弹性问题。

纤维、基体以及复合材料所满足本构方程如式（5）所示：

桥联矩阵中所涉及的计算参数公式如下：

式中，称α和β为桥联参数，它们能通过试验测得的横向模量和剪切模量来调节，从而取得最佳参数值。若没有试验结果进行对比，α和β可在0.3～0.5和0.35～0.5之间取值。

由以上公式可以得到单向复合材料3个基本力学性能公式：

（1）纤维中的内应力为：

（2）基体中的内应力为：

（3）单向复合材料的柔度矩阵为：

复合材料的其他一些力学参数可以根据这3个基本公式得出。由此可以导出的桥联模型等效弹性常数：

刘柳假定纤维是弹性体材料，基体是均质的各向同性材料。在动态荷载作用下，它们表现出粘弹性性质。考虑应变率的影响，把整体本构模型进行修正。CFRP材料的应变率强化效应在改进的桥联模型中得到了大致的体现。

2 宏观唯象方法

宏观唯象方法［15］是用宏观上的应力、应变对复合材料力学性质描述。形式简单，工程应用十分方便。

2.1 正交各向异性材料本构模型

参考朱滨［16］弹性力学中关于广义Hooke定律知识，把它和宏观唯象理论相比，最终把正交各向异性材料本构模型用宏观唯象方法研究。

典型的CFRP属于正交各向异性材料，根据广义的Hooke定律［16，17］可以知道，正交各向异性体的本构关系可以表述为：

式中，C为刚度系数矩阵，具有对称性，可表示为：

同样，S为柔度矩阵具有对称性，S=C-1。

方盈盈［18］用动态增强因子修改正交各向异性材料本构模型中的柔度矩阵和刚度矩阵，得到复合材料三维动态连续损伤本构模型：

2.2 含损伤率相关本构模型

许沭华［19］在Kevlar纤维复合材料的动态压缩试验的基础上，列出有关含损伤率的本构模型，并得出与应变率相关参数n的拟合关系式。

刘明爽［21］在2D-C/Si C复合材料动态压缩试验结果的基础上，对弹性模量进行动态修正，建立模量与应变率的对数呈线性的关系式，并提出一种率相关的损伤本构模型。

式中，E为弹性模量；Y为屈服强；e为自然对数底数；n为曲线形状的影响参数；m为应变率系数；Es为参考弹性模量；A为待定系数为加载应变率为参考应变率。

Salas P A和Benson D J等［22］以力学性能参数与应变率对数的关系表达式为基础，对本构模型中的弹性模量进行修正：

式中，c1为缩放参数（用以控制应变率）。

2.3 其他本构模型

在中等应变率作用下，材料会呈现应变率强化效应和温度软化效应现象。韩小平［23］在这一现象基础上，参考金属材料动态本构模型-Johnson-Cook模型［24-26］，得出具有温度耦合效应的复合材料率相关动态本构模型：

式中，ε为等效塑性应变；A、B、C为材料强度的相关参数；n为应变强化指数为无量纲变化量；为塑性等效应变率为参考应变率；m为温度软化指数；Tmelt为材料熔化温度，K；Tr为参考温度，K。

TAY等［27］得出的本构模型是一个经验形公式。它的待定参数少，形式简单，大致上可以描述材料的动态特性。公式中的参数是通过动态试验获得，其中动应力σd确定存在诸多困难，q1的物理含义尚不确切，它只能通过拟合大量实验数据结果来获得。

Xia和Wang等［28，29］在冲击拉伸试验结果和单参数的Weibull函数两者的基础上，提出强度的统计分布函数，与试验结果相比较，此应力-应变曲线计算结果吻合度较高，核验了该模型的准确性。

Harding J［30，31］等提出，应变率对单向CFRP的影响是可以忽略的。而Al-zubaidy等不认同应变率对CFRP材料性能无影响这一观点。Al-zubaidy等［32］提出了一系列经验性公式，用于评估不同应变率下CFRP可能的响应。该公式描述碳纤维布在不同应变率下的抗拉强度、弹性模量和破坏应变。这些方程如下：

3 模型对比

从细观力学方法角度看，在经典的处理法中，粘弹性本构模型一般是由一个线弹性单元与一个Maxwell体并联的形式组成。但复合材料采取此经典方法需要多组线弹性单元与Maxwell体并联的形式。Wang、Karim和古兴瑾学者们采用一个线弹性单元与多个Maxwell体并联的方式，建立复合材料粘弹性动态本构模型。采用多个Maxwell体能得到一个更精确的模型，同时计算会变得复杂。

复合材料在外荷载作用下没有达到破坏时，桥联模型用一个矩阵来表达组分材料内应力之间的关系。但是桥联模型中的粘结假设是复合材料只要不破坏，纤维和基体就不发生分离和位移。理想的粘结假设没有复合材料的应变率效应和材料的力学性能。刘柳将应变率考虑在桥联模型之中，改进的桥联模型大致体现了应变率强化效应。其中一些应变率参数是通过试验数据拟合才可得出，因此修正后的桥联模型需进一步改进。

从宏观角度来阐明复合材料动态本构模型，大多是通过宏观的应力应变及大量的试验结果拟合得出复合材料的相关动态本构。这些本构模型形式相对简单，广泛应用。

4 结语

数值结果的真实还原度取决于复合材料动态本构模型选取的合理性。材料结构决定材料性质，在充分了解材料结构的基础上所做的假设，得出的材料本构模型才更加合理。文中通过总结FRP动态本构得出以下结论：

（1）从细观力学角度看，专家学者们采用一个线弹性单元与多个Maxwell体并联的方式，建立复合材料粘弹性动态本构模型。采用的Maxwell体越多，得到的模型更精确，但是计算会变得复杂。复合材料中，组分材料界面之间的相互作用极其复杂且难处理，所以得出的动态本构模型形式复杂，在工程中难以展开应用。

（2）从宏观角度看，大多的复合材料相关动态本构是通过宏观的应力应变及大量的试验结果拟合得出的。它的形式简单，非常适合工程应用。