中考压轴题整体解题三步曲

黄建林

学生在解中考占30分的压轴题时，存在的最大问题是：没有解题思路。或者有思路没条理性、思路不严密、存在逻辑瑕疵，思路缺乏灵活与变通等。通过总结多年带学生冲中考的经验，探究出三点引导学生解中考压轴题的整体思路及方法如下。

一、解压轴题三步曲

（一）阅读理解问题：（将压轴题读两遍）

1.阅读第一遍，标出或列出或画出题目中已知的明显条件及数据。阅读第二遍，梳理出题目中隐含的条件、并加以标注。同时将题目要求证明或计算的结果，进行分析、化简、整理，以及等价转换。形成解题思路，帮助构造出证明或计算必要的逻辑闭环。列出题目全部的明暗条件，提醒自己在下一步分析探究环节，用齐所有条件，保证解题思路无逻辑瑕疵。

（二）分析探究问题：

1探究思考时，遵循“先解决逻辑问题，再解决证算问题”的顺序。找解题的逻辑线路时，可尝试三条途径：

（1）用全条件从左向右一步步推导（已知结果）。

（2）用全条件从右向左一步步推导（结果→已知，反推或反证）。

（3）用全条件两头向中间一步步推导（左→中→右）。

2.目标：打造一个贯通思路的逻辑环

3.探究时思考顺序及常用工具：

（1）明暗条件够时，直接用逻辑链串通条件和结果，构造完成一个解题思路的逻辑环。

（2）若遇几何综合题类压轴题，明暗条件不够、无法构造一个逻辑闭环时，要在断缺的逻辑环节，构造出适当的符合要求的辅助线、辅助角、辅助三角形、辅助四边形及辅助圆等，通过这些辅助线做桥梁工具，填补短缺的环节，完成逻辑闭环。

（3）若遇代几综合题及动点问题，明暗条件不够、无法构造一个逻辑闭环时，可借助设定或构造适当的参数及参数组做桥梁，以设参——导参——消参做工具和手段，抓住变中不变、动中不动，找到等量关系，进而构建出解题的逻辑闭环。例如：遇二次函数图像上的动点问题，可设动点坐标为（t，at2+bt+c）;遇直线上动点问题，可设动点坐标为（t，kt+b）。

（三）证正算解决问题：

1.进行计算、推导、证明时，要遵循已探究构造好的逻辑线路，有顺序有条理的一步步完成计算、推导、证明的过程。

2.每个计算的结果、结论，要做到“有据、有理、有过程、有结论”。条件齐全时，可先列出条件、数据、公式、公理、定理、推论等要用到的条件：再进行推导、证明。若条件不齐，则通过设辅助参数，或做辅助图形这一桥梁，构造齐所需条件，再进行推导、论证，最终算出结果或证出结论。

3.计算讲求准确和速度：推导和证明讲求条理、规范、完整。力争在限定的时间内，多拿压轴题的步骤分及结论分。

二、解题三步曲应用典例展示：

典例1.如图，直线AB与双曲线y=k）》0在第一象限内交于A、B两点，与x轴交于C点，

点B为线段的AC中点，连接OA，若△AOC的面

积为3，则k的值为

1.阅读理解问题：读出B点在始终在双曲

线上，满足Xb.★Yb=K

2分析探究問题：以设参→导参→消参为手段，把两个条件：中点及面积用全，解题的逻辑闭环就形成了。

3.证算解决问题：可设A（a，冬）、C（b，0）

因B为AC中点，可设B（史，会）（中点用上）

（1）代人Xb*Yb=K.→b=3a.（2）代人S=号OC×Ya=3消参后可得k=2.

典例2.如图，在正方形ABCD中，点E是边

BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：

①∠AED+∠EAC+∠EDB=90°，

②AP=FP，③AE=2AO

④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36

5CE·EF=EQ·DE

其中正确的结论是

证①：∠AED+∠EAC+∠EDB=90°

1.阅读理解：读出正方形ABCD的对称性，

梳理出隐含条件：∠BOC=90°

∠BOE=∠COE=45o

2.分析探究：连接OE，分析出：

∠AED=∠AEO+∠OED

由外角定理得：

∠BOE=∠ODE+∠OED=45°，∠COE=

∠OAE+∠OEA=45°

3.证算得：

∠AED+∠EAC+∠EDB=90°

证2：AP=FP

1.阅读理解：读出∠APF=∠ABF-90°读出隐含条件：A、P、B、F四点共圆，进而想到隐圆的直径AF。

2分析探究：由正方形→∠ABD=45，由同弧AP对等角→

∠AHP=45°→△APF为等腰直角三角形，

3.得AP=FP

证3：AE=0

用“设参、导参、消参”手段，证算解决设正方形ABCD的边长为t，用勾股定理，将AE、AC、AO的长，换算成t的表达式，两项相除消参

证④证实或证伪：

“阅读/分析正算”三步合一罗辑思路演示：

1.由正方形的对称性及题中条件

→△OPE的面积=△OQE的面积=2

2.由OE为△BCD的中位线→OE∥CD

OE/CDEQ/QD=OQ/QC=

→S△OQD=2S△OEQ=4

S△CQD=8→S△COD=4+8=12

3.进而→S正方形ABCD=4x12=48→正

方形ABCD的面积为36.

④为错。

证5：CE·EF=EQ·DE

用两头向中间推的思路证明结论成立

1.将待证结论整理变形

CE·EF=EQ·

DE.CEEQ

DEEF

对称得EQ=PE，CEE

DE

（中间）

2.探究∠PEF和∠CED的关系

由对称性得∠PEF∠CED，

RT△CED∽RT△EPF（AA）

CEPE

DE

一示（中间）

3.由两头推到中间， 逻辑闭环形成→⑤

CE·EF=EQ·DE成立

答案选①、②、③、⑤

典例3.如图，PB为⊙O的切线，B为切

点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂

线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与

⊙O交于点C，连接鄂C，AF

（1）求证：直线PA为⊙O的切线：

（2）试探究线段EF、OD、OP之间的数

量关系，并加以证明;

证明（1）直线PA为⊙O的切线

“阅读/分析/证算”三步合一逻辑思路演示：

1.连接OB，“执果索因”，构建逻辑闭环

欲证PA是圆O的切线，←（须证）∠OAP=90°

-∠OAP=∠OBP（PB为切线∠

OBP=90°）

-△OAP≌△OBP，-PA=PB，←

OP垂直平分AB

←OA=OB（及已知AB⊥OP）构建逻辑闭

环完成

下一步，可“由因到果”，完成推证过程

2探究证明（2）探究线段EF、OD、OP之间的数量关系，并加以证明

“阅读/分析/证算”三步合一逻辑思路演示

由（1）结论知，得知并推出

OA⊥AP，AD⊥OP

→△OAP和△OAD是双垂直母子模型

→OA2=OD·OP由OA=EF，→

EF=4OD·OP

3.探究证算（3）：若BC=6，an∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长

“阅读/分析/证明”三步合一逻辑思路演示

解题思路1：设参→导参→消参

解题思路2：利用三角函数（sinA、cosA、tanA）这一“边角转换器”工具。灵活运用sinA、cosA、tanA的定义，利用“在直角三角形中，角相同三角函数值一定相同，反之亦然”这一推论

解题思路3：利用双垂直母子模型结论——射影定理及其推论

2021年廣州市中考数学题及2021年省中考数学题，在体现“初高衔接”的压轴题中达到的难度高峰，给出了压轴题的方向：考察数学思维。希望通过有目的的解题三步曲的思维训练，让学生的思维既能发散开，又能收敛回，充分打开学生的思维，抓住解中考压轴题的核心和关键。