怎样借助图形解题

钱春林

数形结合思想是解答高中数学问题的重要思想，尤其是在解答函数、方程、不等式、解析几何、三角函数、立体几何问题时，巧妙地运用数形结合思想，借助图形来分析问题，可达到化难为易的效果.在解题时，可根据题意绘制出相应的图形，然后通过分析图形中点、直线、平面的位置关系，确定函数的性质、方程的根的分布情况、不等式的解集、三角函数的性质等，这样就能帮助我们快速找到解题的思路.

本题中涉及的点、曲线、直线较多，需根据题意画出图形，借助图形来分析问题，通过观察图形，找到取得最值时的临界情形，再根据抛物线或者双曲线的定义以及性质，将点到直线的距离之和的最小值问题转化为三点共线问题，利用点到直线的距离公式求得问题的答案.借助图形，能使最值问题变得更加简单、直观.

例2.已知抛物线y= ax2+bx +c（a≠0）与戈轴交于点A（-1，0），点B（3，0）两点，并与y轴交于点C（0，3）.

（1）求抛物线的方程;

（2）设抛物线的顶点为D点，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得三角形PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.

根据题目中的已知条件绘制出相应的图形，便可结合图形，根据曲线和等腰三角形的性质快速找到满足题意的P点，再添加适当的辅助线，根据勾股定理、等腰三角形的性质就能求出符合条件的P点的坐标.

例3.设关于θ的方程√3cosθ+sinθ+a=0在區间（0，2π）内有相异的2个实根α，β.（1）求实数a的取值范围;（2）求α+β的值.

分析：本题若通过解方程的方法来求解，计算过程比较繁琐，此时可考虑运用数形结合思想，将方程有2个不同的实数根转化成2个函数图象在区间（0，2π）内的交点的个数，借助图形来进行分析、讨论，就能快速建立满足题意的关系式，进而求得a、α+β的值.

函数与方程的联系紧密，在解答方程问题时，可根据方程构造合适的函数模型，这样就能将方程问题转化为函数问题.画出函数的图象，借助函数的图象来讨论方程的根的分布情况，就能陕速解题.

将抽象的代数式转化成直观的图形，从而将数量关系转化为点、线、面的位置关系，便可通过分析图形，挖掘出问题的本质，使解题的思路更加明朗，在日常学习中，同学们要学会根据函数的解析式、不等式的解集、集合、方程等绘制出相应的函数图象、数轴、Veen图、曲线等，这样借助图形来分析问题，就能让解题变得更加高效.0F263EE8-608A-4810-BF30-378B2751CA59