如何求动点的轨迹方程

廖宇慧

求动点的轨迹方程问题是一类常考题目，主要考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何性质以及标准方程.此类问题对同学们的运算和推理分析能力有较高的要求.下面介绍两种求动点的轨迹方程的方法.

一、定义法

定义法是指利用圆锥曲线的第一、第二定义来求动点的轨迹方程.在利用圆锥曲线的第一定义解题时，首先要在平面上找出两个定点，然后根据题意判断在平面上是否有一个动点到两定点的距离的和或差为常数，据此求得圆锥曲线中的参数a、b、c，进而得到动点的轨迹方程.利用圆锥曲线的第二定义解题，首先要找出一条定直线和一个定点，判断该定直线到定点的距离与到曲线上动点的距离之比是否为常数，据此求得动点的轨迹方程.

观察图形可以发现，动点Ⅳ到两定点A、C的距离之和为定值，由此可联想到椭圆的第—定义，于是可断定Ⅳ的轨迹为椭圆，再根据椭圆的第一定义求得椭圆的标准方程中a、b、c的值，即可求得N点的轨迹方程.

经观察图形可发现，定圆的圆心C（3，0）恰好与A（-3，0）关于原点对称，可将其视为定点，将P视为曲线上的动点，由两圆外切可知|PC|-|PA| =2，由此可根据圆锥曲线的第一定义断定P的轨迹为双曲线的左支，求得a、b的值，即可求得动点的轨迹方程.

二、相关点法

有些问题中的动点随着另一个动点的变化而变化，此时，可采用相关点法来求动点的轨迹方程.利用相关点法求动点的轨迹方程，需首先设出动点的坐标，再根据动点与另一个动点之间的关系建立关系式，用动点的坐标来表示出另一个动点，将其代人已知曲线的方程中，通过化简就能求得动点的轨迹方程.

例3.已知圆x2 +y2=1，从这个圆上的任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹方程，

分析：分析題意可知，M点随着P点的变化而变化，需采用相关点法解题.设出M点的坐标，求得P的坐标，并将其代入圆的方程中，即可解题.

总之，无论运用定义法还是相关点法求动点的轨迹方程，都要把握四点：（1）明确动点与定点、其他动点之间的关系;（2）根据题意确定动点的轨迹;（3）建立关于动点坐标的关系式;（4）根据动点的轨迹确定x的取值范围.这样，才能快速、正确地求得动点的轨迹方程.F8567D1C-A3D2-476A-9C1A-600CC6DB9346