数学活动：在深度参与中获得深切体验

钟鸣　胡秉中

数学活动课是课程内容“综合与实践”的基本实施方式。开展数学活动的目的是拓宽学生的知识面，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，帮助学生积累基本活动经验，提高学生解决实际问题的能力。下面，笔者以苏科版八年级上册数学教材第三章“勾股定理”的数学活动课“探寻勾股数”为例，基于课程基本理念，围绕深度参与，设计了一堂数学活动课，旨在让学生深度参与活动，获得对数学知识、方法和思想的深切体验。

一、活动构思

勾股数相伴勾股定理而产生，在数学发展史上具有独特的文化价值。带领学生探寻勾股数，感受数学家构造勾股数的基本方法，既是对勾股定理知识的复习和巩固，又能够训练和发展学生的数学思维，帮助学生领略数学的文化价值，激发学生的好奇心和求知欲。

学生学习了勾股定理，知道了一些简单的勾股数、勾股定理及其逆定理，也能够利用勾股定理解决简单的问题，但对于大量的勾股数及其构造方法还不了解。学生虽然具备联想的基本能力，但对于一些不太明显的勾股数的形式特征和跨度较大的知识，联想能力较弱。由勾股数的形式特征联想到完全平方公式，对于学生而言是一个难点，需要教师在探寻的过程中对学生加以引导。

基于以上认识，笔者确定本节课的活动目标：经历运用已有知识解决问题的过程，体会数学知识的内在联系;经历用多种方法探索勾股数，体会勾股定理的文化价值;经历克服困难、取得成功的过程，获得一些研究问题的经验和方法。

二、活动过程

1. 课前活动：奠定深度参与的基础。

[活动1]以“勾股数”为关键词，进行网络搜索，查阅文献，了解“勾股数”的发展历史和构造方法。

[设计意图]深度参与是“全员、全程、全面”的“三全”参与。在借助信息技术和网络搜集学习资源的环节中，所有学生都能投入到现实的学习活动中，为课上交流提供了丰富的学习素材。

2. 课上交流：促进深度参与的形成。

[问题1]根据你的课前研究，说一说你已经知道的勾股数有哪些？

生：3、4、5;3k、4k、5k;5、12、13;5k、12k、13k;7、24、25;7k、24k、25k;9、40、41;9k、40k、41k……

随后教师给出一些数，让学生判断这些数是不是勾股数。

[问题2]历史上，不少数学家都对勾股数的构造进行了积极的探索，你能跟大家分享数学家探索的结果吗？

生1：柏拉图给出了一个计算公式，a=n2-1，b=2n，c=n2+1，其中n为大于1的整数。

追问：你能证明a、b、c是勾股数吗？

师总结：历史上，数学家对勾股数的探索很多，不少数学家给出了不同的勾股数的计算公式，每个公式都可以计算出无数多组勾股数。那么，这些计算公式是怎么构造出来的呢？

[设计意图]深切体验是“深刻、切实、亲身”的具体化体验。从勾股数类别、数学史的角度介绍勾股数，将数学文化渗透其中，学生的感受是切实的，激发了学生学习数学的兴趣，自然地引出了课题。

[活动2]用学过的知识探寻怎么构造勾股数。

[问题3]构造勾股数，就是要找到3个正整数，使它们满足“两个数的平方和（或差）等于第三个数的平方”，即满足如下形式：（        ）²±（        ）²=（         ）²。想想看，在我們学过的知识中，哪类知识也有这种形式？

生2：（a+b）2+（a-b）2=2a2+2b2。

生3：（a+b）2-（a-b）2=4ab。

师：哪个式子最接近a²±b²=c²的形式？

生4：生3给出的式子。

师：a、b既可以表示数，也可以表示式子。当a、b表示什么式子的时候，可以让ab变成平方式呢？

生5：a=b³时，此时原式变为（b3+b）2-（b3-b）2=（2b2）2。

师：很好，这时我们得到勾股数：b3+b，b3-b，2b2。

生6：老师，这和柏拉图公式是一样的：b（b2+1），b（b2-1），b·2b。

师：对的，你看得非常仔细。a、b还可以表示什么式子，从而使ab变成平方式呢？

生7： a=m2，b=n2。

师：很好，这样得到的勾股数计算公式，就是古希腊数学家丢番图的计算公式：a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m[>]n，m、n为正整数。如果在古代，你们就是大数学家了。

师总结：利用已经学习过的平方差公式，可以构造勾股数的计算公式——柏拉图公式和丢番图公式。

[设计意图]引导学生展开联想、对比、探索，了解勾股数计算公式之间的内在联系，经历类似数学家的发现和创造过程，感受数学的魅力，激发学生的探究兴趣。

[活动3]请在表1中填写对应的勾股数。

[问题4]观察勾股数3、4、5，16、63、65，20、99、101……它们有什么共同点？你能借助之前得到的勾股数的计算公式，探索并构造这样的勾股数吗？

师总结：丢番图计算公式虽然可以计算出无数多组勾股数，比如勾股数“3、4、5”，但是却不能计算出勾股数“9、12、15”。

[设计意图]通过填表，发现规律，了解勾股数计算公式的局限性。

[活动4] 一位数学家在他找到的勾股数的表达式中，用2n2+2n+1 （n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数。你能找出另外两个数的表达式吗？

生8：假设c=2n2+2n+1=（n+1）2+n2。根据丢番图计算公式，可以写出a=（n+1）2-n2，b=2（n+1）n;根据毕达哥拉斯计算公式，可以写出a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1。

师总结：毕达哥拉斯计算公式可以由丢番图计算公式推导出来。

[设计意图]通过对c进行因式分解，经历依据丢番图计算公式推导毕达哥拉斯计算公式的过程，感受知识之间的内在联系。

3. 活动小结：显化深度参与的感悟。

[小结]请你分享这节课的学习心得。

[设计意图]引导学生在分享中，将自己对知识、方法和思想的深切体验和深刻领悟表达出来。通过外部言语将内部思想的结果显化出来，是积累基本活动经验的基本方式。

三、活动反思

1. 增加课堂趣味性，促进学生深度参与。

初中数学课的设计要符合学生的心理特征，而本阶段的学生对新的事物具有极强的好奇心，因此要想学生深度参与到活动课中去，首先要改变课堂开展的形式，比如在活动教室进行授课，或者将学生分成多人小组，采用面对面的形式。这样不仅有利于学生合作交流，还能激发学生的学习兴趣，促进学生的深度参与。

当然，课堂内容的趣味性才是激发学生学习兴趣的根本。增强课堂趣味最为简单实用的教学手段就是进行学科渗透。本节课中，笔者从数学史、数学文化等视域开发课程资源，在讲述勾股数的发展历史和构造方法时，配以趣味性的幻灯片，运用讲故事的方法引出相应的计算公式，以激发学生的求知欲，促进学生深度参与。

2. 设计核心问题，促进深切体验的发生。

学生深度参与的前提是主动参与、积极参与、自然参与，其核心在于思维参与。教师应注重启发，设计核心问题，将学生的思维带入课堂，让学生以问题为载体，积极主动地参与课堂。

本节课中，笔者从探索勾股数入手，引导学生复习勾股数的有关概念，从判断是不是勾股数，到能不能想出表示勾股数的方法，再到如何将4ab表示成平方的形式，师生互动良好，教学过程流畅。在课堂上，只要舍得给学生机会和时间，学生就能够给出很多有创意的思路。当然，前提是教师要设计好问题。例如问题“怎樣使4ab变成平方式”，使得学生以不同的想法探索下去并获得不同的结论，而这些结论中，有些恰恰是数学家发现的。学生知道后，成就感、自豪感获得激发，情绪状态变得非常饱满，促进了深切体验的发生。再如，让学生理解柏拉图、丢番图以及毕达哥拉斯给出的计算公式之间的联系是一个难点，对于这个难点，教师设计问题进行启发很重要。此外，还要留时间给学生化简验证，让学生充分理解不同公式之间的内在联系。

3.开展即时评价，保障参与和体验。

在数学活动课上，为了确保学生深度参与和深切体验，教师需熟练运用即时的课堂评价。所谓“即时”，就是“当下、立即”的意思，即教师在各个课堂环节中随时对学生的课堂表现做出相应的评价，时刻观察、了解学生的课堂参与情况，以语言或奖品的形式对学生进行表扬或鼓励。评价的形式包括教师评价、同学评价、自我评价，旨在最大限度地让学生认识自我，增添信心。

比如，本节课中，笔者采用了小组实时计分的即时评价方法，以问题和活动为计分点，一方面根据学生在各个环节的表现进行打分，另一方面让学生利用教材提供的数学活动评价表，从课堂内容掌握情况、课堂表现、课堂体验三个角度，进行自我评价、同学评价、小组评价，最终得分高的小组获得相应的奖励。课堂上学生讨论激烈，课堂氛围浓郁。课后，教师还可以结合课堂观察与小组得分情况，赋予评语或给予奖励，以提高学生的学习积极性。

（作者单位：江苏省无锡市西漳中学）