“比来比去”探索二次根式

杨博然

老师常说：“数学学习是螺旋上升的过程。”在学习数学的过程中，我发现很多知识都有一种似曾相识的感觉，但与之前的知识又不完全相同，里面加入了很多新知识。在学习二次根式时，这种熟悉的感觉又出现了。于是，我就想一探究竟，通过抽丝剥茧、对比，还真的有所发现。

一、比名字

[a]（a≥0）的名字。

名字①：非负数a的算术平方根;

名字②：二次根式。

[a]可以理解成拥有双重身份。一种身份是二次根式，之前已经学习的整式和分式都属于代数式，二次根式的出现，扩充了代数式的类型;另一种身份是a的算术平方根。有了这个知识点做铺垫，我在学习二次根式时理解得就更加透彻了。这两种身份可以说是二次根式的“前世今生”。

二、比特长

[a]（a≥0）的特长。

特长①：双重非负性，a≥0，且[a]≥0。

特长②：[a2=a]（a≥0）。

特长③：[a2=a=aa>0;0a=0;-aa<0。]

对于特长①的理解，我们可以借助[a]的名字①了解到a≥0，且[a]≥0，这也就不难理解二次根式[a]的双重非负性了。

对于特长②和③，通过比较，我发现两者既有联系又有区别。联系是，里面都包含了两种运算：平方和开平方，这是一组互逆运算;区别是，两种运算的顺序不一致：特长②先开平方再平方，特长③先平方再开平方。要对a进行这两种互逆运算，我们可以认为这两种运算相互抵消了，最终剩下了a。但为什么结果不一样呢？ 我们就来看看具体的例子吧。

特长②：

[22]=2;

[02]=0;

[-22]无意义。

由此看出，被开方数a要满足a≥0，计算结果就是被开方数a。

特长③：

[22=2=2];

[02=0=0];

[-22=-2=2]。

由此看出，被开方数a可以取任意实数，其计算结果就是[a]。

通过对比，我发现两种计算结果不一样的原因就在于a的取值范围，但我们也可以找到共同点，根据[a2]≥0和[a]≥0的特征，两个计算结果都是非负的。两个特征如果实在分辨不清，可以把特长②记为[a2]=[a=a]（a≥0），这样就和特长③统一了，我们在解题的时候会更为方便。例如：[52=5=5];[-52=-5=5]。

三、比运算

在进行二次根式计算时，那种似曾相识的感觉又来了。“同类二次根式”的概念让我想起了“同类项”，“合并同类二次根式”的运算让我想起了“合并同类项”，一切都是那么熟悉。

合并同类项：

[x2y-3xy2+2x2y-xy2]

=[3x2y-4xy2]。

合并同类二次根式：

[12-27-20+45]

=[23-33-25+35]

=[-3+5]。

比較两种题型，我发现解题的方法都是一样的，但是合并同类二次根式中增加了“最简二次根式”的概念及化简，这也是新知识在旧知识的基础上有了拓展和延伸。

四、总结

通过“比来比去”，我探究了二次根式的“前世今生”，更加了解了知识点之间的联系，数学方法之间的相通，数学板块之间的“藕断丝连”。学习数学，需深入其中，知其然，知其所以然，其乐无穷。

教师点评

在数学学习中，概念的理解是数学学习的基础，很多同学在概念上理解不透彻，导致解题时出现错误。小杨同学显然已经悟到概念理解的重要性，更重要的是，小杨同学还探究了“知识从哪里来？知识有什么用？知识又将到哪里去？”的问题。数学的学习，不仅仅要关注新知识点本身，还要找出知识点之间的联系和区别，找到隐藏在其中的一条方法线，只要找到了“丝”，就能将“断藕”拼起来。

（指导教师：张文珠）