理清前因后果 明晰概念算理

立早

类比有理数、整式和分式，溯源二次根式的学习历程，同学们会发现，它们在内容上螺旋上升，学法上相似相通，唯一不同的是运算顺序的呈现。前三者都是先学习加减运算，后学习乘或乘除运算，而二次根式学习的顺序是先乘除（乘方开方）后加减。之所以先学乘除，再学加减，是因为二次根式的加减本质上是合并同类二次根式，而同类二次根式的顺序判别基于最简二次根式，这就需要我们先学习乘除（乘方或开方）运算来化简二次根式。因此，我们在解决二次根式混合运算时，先利用乘除（乘方或开方）运算各个击破，化简各式，然后进行加减运算，这点与前三者的运算顺序如出一辙，相似相通。

“二次根式”这一章涉及的概念和性质等核心知识要求都比较细，我们需要条分缕析，理清知识点产生的前因后果，抓住其中的关键要点，领悟其中的概念算理，从而做到精准解题。

一、理解概念，寻根溯源

我们首先要清楚二次根式概念的来龙去脉。因为在实数范围内，任何数的平方都是非负数，所以负数没有平方根。“若x2=a（a≥0），则x叫作a的平方根。正数a的两个平方根记作‘±[a]’，而形如[a]的式子叫作二次根式。”从定义中我们可以看出[a]（a≥0）有两重含义：它既表示对a进行开平方，取算术平方根的运算，又表示运算的结果，即a的算术平方根。这里的被开方式a≥0，开方后的算术平方根[a]≥0，此即二次根式的非负性。

例1 若式子[x-35-x]有意义，求x的取值范围。

【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）、分式有意义的条件（分母不能为0），列不等式组求解即可。

解：由题意可得[x-3≥0，5-x≠0，]解得x≥3且x≠5。

例2 如果m、n是正整数，且[16（2m+n）]和[m+7m-n-1]在二次根式的加减法中可以合并成一项，求m、n的值。

【分析】本題虽然没有直接说明它们是同类二次根式，但能进行加减合并的二次根式必为同类二次根式。应先把[16（2m+n）]转化为最简二次根式，然后再根据两个二次根式能合并，得出它们是同类二次根式，从而列出相应的方程组求解即可。

解：[16（2m+n）]=[42m+n]。由题意知[16（2m+n）]和[m+7m-n-1] 可以合并，则它们是同类二次根式。

∴[m-n-1=2，2m+n=m+7，]解得[m=5，n=2。]经检验m=5，n=2符合题意，∴m=5，n=2。

二、掌握性质，灵活运用

对于[a2]=[a]及[a2]=a这两个式子，同学们该如何理解呢？[a2]中的 a可以为任何数，但由于是求a2的算术平方根，结果为非负数，所以先将a化为[a]，再利用绝对值的意义进行化简;而后者之所以不要写成[a]的形式，是因为[a2]已经隐含条件“a≥0”，所以可直接写成a。同学们只有弄清楚两者的联系与区别，才能在具体的计算中左右逢源，游刃有余。

例3 化简（[2-x]）2+[（x-7）2]。

【分析】本题涉及两个方面的知识点，一是二次根式有意义的条件，被开方数a≥0;二是二次根式性质的灵活应用。

解：由题意得2-x≥0，（x-7）2≥0，解得x≤2，∴x-7<0。

原式=2-x+[x-7]=2-x-x+7=9-2x。

故答案为9-2x。

三、宏观解题，明晰算理

二次根式的运算完全可以类比实数、整式的运算法则，换言之，包括二次根式在内的所有代数式，都可以运用实数运算的算理、运算律以及公式等进行推算，但要注意观察“式结构”的特征。

例4 （1） 化简：8x2[xy]÷12[x3y]×3[y2x]（x>0）;

（2）计算：[48]÷[3]-[12]×[12]+[24]。

【分析】（1）根据二次根式有意义的条件和x的取值范围，确定y的取值范围，再根据二次根式的性质和运算法则进行计算即可;（2）根据二次根式的乘除运算、加减运算法则即可求出答案。

解：（1）∵x>0，[xy]有意义，∴y>0，

∴原式=8x2[xy]÷[12xy][xy]×[3yx][x]

=[2xy3]×[3yx][x]=2y2[x]。

（2）原式=[48÷3]-[12×12]+2[6]

=[16]-[6]+2[6]=4+[6]。

综合计算题都是由若干个小题组合而成的，我们在解决这类问题时，要从宏观的视角认清这个算式的整体结构。例如（1）的“式结构”可以描述成“A÷B×C”型，我们可以先把它统一转化为乘法运算，然后系数与系数相乘，根号内各式相乘，再化简结果;也可以先化简各式，再乘除。（2）的“式结构”可以描述成“A-B+C”型，其中A是除法运算，B是乘法运算，C有待化简，所以我们在解答时可以先各个击破，再合并同类二次根式。

（作者单位：江苏省无锡市新吴区新华实验学校）