生活中的反比例函数

吴叶

函数是刻画事物变化规律最有效、最有力的工具，函数思想贯穿于生活的很多方面。反比例函数是初中三大函数之一，也是中考的热点，常常与一次函数、几何图形等知识结合，渗透着数形结合、函数建模、分类讨论、转化、方程等数学思想。下面，我们来看两道反比例函数的应用题。

例1 某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间。经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y亿度与（x-0.4）元成反比例，又当x=0.65时，y=0.8。

（1）求y与x之间的函数表达式;

（2）若每度电成本价为0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部分收益将比上年度增加20%？[收益=用電量×（实际电价-成本价）。]

【分析】（1）此题属于把实际问题转化为求反比例函数表达式的问题。

（2）此题属于反比例函数的应用问题。

解：（1）因为本年度新增用电量y亿度与（x-0.4）元成反比例，所以可设所求的函数表达式为[y]=[kx-0.4]。

当x=0.65时，y=0.8，代入[y]=[kx-0.4]，解得k=0.2。

故反比例函数表达式为[y]=[0.2x-0.4]。

（2）依据题意，得

（0.8-0.3）（1+20%）=[1+0.2x-0.4]

[x-0.3]，

解得x1=0.5（舍去）或x2=0.6。

答：若每度电成本价为0.3元，则电价调至0.6元时，本年度电力部分收益将比上年度增加20%。

【点评】本题通过构建数学模型，把实际问题中的数量关系转化为数学问题中的数量关系。解答本题的关键是用待定系数法求出反比例函数表达式。

例2 为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒。她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min;完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min。

（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？

（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数表达式为y=2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图像的交点为A（m，n）。当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害。校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明。

解：（1）设校医完成一间办公室的药物喷洒要xmin，一间教室的药物喷洒要ymin。

根据题意，得[3x+2y=19，2x+y=11，]

解得[x=3，y=5。]

答：校医完成一间办公室的药物喷洒要3min，完成一间教室的药物喷洒要5min。

（2）由（1）得m=5，则n=2×5=10，

∴A（5，10）。

设药物喷洒完成后y与x的函数表达式为[y]=[kxk≠0]。

则[10]=[k5]，解得k=50，

∴[y]=[50x]（x≥5）。

当y≤1时，即[50x]≤1，解得x≥50。

∵11×5>50，

∴当校医把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能进入教室。

【点评】本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求反比例函数的表达式、反比例函数图像上点的坐标特征及反比例函数图像。解题的关键是利用待定系数法求出函数表达式，再根据函数的性质解决问题。

用函数观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么，可以看到什么，逐步形成解决实际问题的能力。在解决问题时，不仅要充分利用函数的图像，渗透数形结合的思想，还要注意函数不等式和方程之间的联系以及学科之间的知识渗透。

（作者单位：江苏省无锡市新吴区第一实验学校）