数形两手抓，学好反比例函数

章晓东

七年级上学期我们学习了一次函数，并学会了用一次函数解决问题。现在，我们学习了反比例函数，知道了现实世界存在各种各样的函数。回顾这两个单元，大家已经积累了不少关于函数的学习经验，而“数形结合”是其中最为突出的一个。因为数学研究的基本对象就是“数量关系”与“空间形式”，而函数本身就兼具数与形两方面的特征。数形结合是一种数学思想方法，以数解形、以形助数都能够帮助我们完善解题策略，进一步感悟数和形之间的联系。

我们先借助反比例函数表达式，由数想形，经历列表、描点、连线的过程，得到了反比例函数的图像;再借助函数图像直观地研究反比例函数的性质，知道了k值的正负对于函数图像的影响，知道了函数值y随自变量x的变化而变化，还能够比较函数值大小。

例如，已知点A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数[y]=[3x]的图像上。借助图像我们很容易得出[y2<y1<y3]，即使[y]=[3x]变为[y]=[kx（k>0）]，只要我们抓住了“以形助数”，同样能够轻松地借助图像解决问题。

在解决[k1x]+[b>k2x]类型（其中[k1、k2、b]为常数）的不等式时，如果我们借助图像，问题将变得更简单。例如，在求不等式[x]+[1>][2x]的解集时，我们可以利用函数[y]=x+1与[y]=[2x]的图像（如图1），化繁为简，得到[-2<x<]0或[x>1]。当然，大家也可以利用图像求得方程[x]+[1]=[2x]的解。接下来，我们学习了反比例函数的系数k的几何意义。例如，如图2，P是反比例函数[y]=[kx]图像上的一个点，过点P作PA⊥x轴，垂足为A，PC⊥y轴，垂足为C，则矩形OAPC的面积是[k]，△PCO的面积为[k2]。同理，你能求出图3（点P、B分别在函数[y]=[4x]、[y]=[2x]的图像上，PB⊥x轴）阴影部分的面积吗？答案是[42]-[22]=1。

再变化，如图4，你会计算△ABC的面积吗？方法一是连接AO、BO，△ABC与△AOB的面积相等;方法二是设A（m，[8m]），进而得到B（m，[-2m]），AB=[10m]，可以由数解形，得△ABC的面积为[10m]·m·[12]=5。由此可见，我们知道了反比例函数k的值，便能得到一些几何图形的面积;反之，我们也能够根据已知图形的面积，计算出反比例函数k的值，这体现了数与形之间的联系。

总结上述经验，我们知道，在解决问题的时候，不仅可以将几何问题代数化，也可以将代数问题几何化，在解决同一道问题的时候往往有代数、几何等方法。

再例如，如图5，四边形AOBC是矩形，反比例函数[y]=[kx]（k>0）在第一象限内的图像与矩形AOBC的边AC、BC分别交于点M、N，如何判断[AMAC]与[BNBC]的关系？一方面，我们可以将这两个比值分别转化为△AOM与△AOC、△BON与△BOC的面积比;另一方面，我们可以设AC=a，BC=b，则[M（kb]，[b）]，[N（a]，[ka）]，∴[AMAC=kab]，[BNBC=kab]，∴[AMAC=BNBC]。

最后给大家留一道练习题：是否存在一个新矩形，其周长和面积都是长为3、宽为2的矩形的2倍？你想到了哪些方法？

提示如下：（方法1）设新矩形长和宽为x、y，则依题意得x+y=10，xy=12，联立方程组，再探究根的情况;（方法2）用反比例函数[y]=[12x]与一次函数[y]=[-x]+10的图像交点去探究。

（作者單位：江苏省无锡市新吴区新华实验学校）