m-WOD随机变量序列加权和的完全矩收敛性

方一楠，谭希丽，张凯丽

(北华大学数学与统计学院，吉林 吉林 132013)

0 引 言

关于独立随机变量极限理论的研究成果已经比较丰富[1-2]，而相互独立的样本尚不足以处理某些实际问题，因此，独立随机变量理论方法无法满足现实需要.随着对独立随机变量序列极限理论的研究，NA(negatively associated)、NOD(negatively orthant dependent)、NSD(negatively superadditive dependent)、END(extended negatively dependent)、WOD(widely orthant dependent)、m-WOD等一些混合和相依随机变量序列的概念被学者们提出，并取得了一些有意义的研究成果[3-8].

在对相依随机变量的研究中，WOD随机变量序列尤为重要.在WOD随机变量的基础上，文献[9]提出m-WOD随机变量序列的概念.

定义1[9]如果对某个固定整数m>1，对任意的n≥2和对任意的i1，i2，…，in∈*，当ik-ij≥m，1≤k，j≤n时，Xi1，Xi2，…，Xin为WOD的，则称{Xn，n≥1}为m-WOD随机变量序列.

m-WOD序列是包含NA、NSD、NOD、END、WOD、m-NA、m-END等相依序列在内的更为广泛的相依序列，所以对其极限理论的研究非常具有理论和现实意义.目前，对于m-WOD序列极限性质的研究已取得一些结果：如文献[9]获得m-WOD误差下非线性回归模型最小二乘估计的收敛性，文献[10]研究了m-WOD序列密度函数和失效率函数核估计的强相合性，文献[11]获得了m-WOD随机变量序列生成的移动平均过程的完全矩收敛性.受上述文献的启发，本文在一般条件下利用m-WOD随机变量序列的矩不等式及截尾技术，研究m-WOD序列部分和的完全矩收敛性，推广了文献[7]的研究结果.

定义2[8]如果存在正常数C，使得对所有的x≥0，i≥1，有

则称{Yi，i≥1}为被随机变量Y控制的随机变量序列.

1 引 理

本文中I(A)表示事件A的示性函数，C，C1，C2，…表示正常数，不同的地方取不同值.

引理1[9]如果{Xn，n≥1}是控制系数为{g(n)，n≥1}的m-WOD随机变量序列，其中g(n)=max{gu(n)，gl(n)}，{fn(·)，n≥1}是均为非升(或均为非降)的函数，则{fn(Xn)，n≥1}仍是m-WOD随机变量序列，且其控制系数仍为{g(n)，n≥1}.

进一步，假设{ani，1≤i≤n，n≥1}为三角实数阵列，则存在正数C4(m，p)，C5(m，p)和C6(m，p)，有

引理3[7]设Y是一个随机变量，则对于任意的α≥0，λ>0，β>-1，有

引理4[7]设Y是一个随机变量，则对于任意的α≥0，λ>0，β<-1，有

引理5[12]设{Xn，n≥1}是被随机变量X控制的随机变量序列，则对任意的α>0，b>0以及n≥1，以下两式成立：

其中，C1和C2均是正常数.

3 主要结果

定理1设{Xn，n≥1}是被随机变量X随机控制的m-WOD随机变量序列，且EXn=0，存在某个θ≥1，使控制系数f(n)=O(nθ).设β>-1，r>1，1≤q<(r∧2)，{ani≈(i/n)β(1/n)，1≤i≤n，n≥1}是一个三角阵列.如果

(1)

则对任意的ε>0，有

(2)

(3)

证明：先证明式(2).对任意的1≤i≤n，n≥1，令

因为EXn=0，有

由Cr不等式可得

由Yi的定义和引理5得

由引理3和式(1)有

因此，M11<∞.

由引理4和式(1)，取p足够大，使得(r-1)/(1+β)-1-p<-1，r-1-p<-1，类似于M11的证明，可得

因此，M1≤M11+M12<∞.

由引理5、Jensen不等式、Yi的定义证明M2<∞，有

由Markov不等式和式(1)，取p足够大，使得r+θ-2-pr(1+β)/2<-1，r+θ-2-(r-1)p/2<-1，则有

<∞.

下面证明M22<∞.

由引理3和式(1)有

下面证明式(3).显然对任意的ε>0，有

得证式(3)成立.证毕.

定理2设{Xn，n≥0}是被随机变量X随机控制的m-WOD随机变量序列，且EXn=0，存在某个θ≥1，使控制系数f(n)=O(nθ).设β>-1，r>1，1≤q<(r∧2)，{ani≈((n-i)/n)β(1/n)，0≤i≤n-1，n≥1}是一个三角阵列.如果式(1)成立，则对任意的ε>0，有

证明：由Cr不等式可得

由引理2、Markov不等式、Jensen不等式以及q<2

显然由Yi的定义和引理5得

根据引理3，类似于M11的证明，有

余下证明与定理1类似.证毕.