如何解答初中数学代数最值问题

孟小娟

求代数式的最大值及最小值问题是初中数学的一个重难点知识，也是各类考试中的热门问题.这类问题涉及的知识点多，覆盖面广，解题的技巧性强，许多同学在求解时常常感到束手无策.对此，笔者归纳了几种最值问题的常用解法，以期对同学们的学习有所帮助.

一、利用配方法

配方法是求解代数最值问题的一种常用方法.它是指先将已知或所求目标代数式配成完全平方式加常数项的形式，或几个完全平方式之和的形式，然后利用完全平方的非负性顺利地求出其最值.灵活运用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2可得到各種基本配方形式.

例1 我们知道代数式x2+2x+5的值会因x 的取值不同而“变化”.尽管如此，我们可以将它变形为完全平方再加上一个常数项，来求这个代数式的最小值，这种方法，我们称之为配方法.例如：代数式x2+2x+5 可变形为（x+1）2+4 因为（x+1）2≥0 ，所以当 x=-1 时， x2+2x+5有最小值4.又如代数式/2x-2x-6=1/2（2-4x+ 4）-8=1/2（x-2）2-8，有最小值-8.

分析：（1）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案;

（2）配方后即可确定最小值;（3）利用分组分解的思想配方即可解答问题.

解：

评注：本题考查了因式分解以及非负数的性质的应用.解题的关键是把题目给出的式子化成完全平方的形式，利用配方法确定最值.

二、运用函数法

函数法是指在解答代数最值问题时，根据题目结构特点，将问题中的代数式转化为函数形式，再借助函数性质及相关知识点求出最值.初中阶段的重点函数是一次函数与二次函数，在利用函数的单调性求最值时，要先引入变量，列出函数关系式，并注意求出自变量的取值范围及区间范围对最值的影响.

例2 已知a，b，c为非负数，且满足a+b+c=40，3a+b-c=60，则 5a-3b+9c的最大值为（）.

A.260 B.240 C.210D.180

分析：

解：

评注：对于一次函数y=kx+b（k≠0），当 k>0时，为增函数，随x的增大而增大;当k<0 时，为减函数，随x的增大而减 0.当x在某个限定范围内时，既有最大值，也最小值.

三、采用判别式法

判别式法是解答数学题的一种常用方法.它不仅能直接用于判定一元二次方程的根的情况，还可以根据一元二次方程根的情况确定方程中参数的取值范围.利用判别式法求最值，需先将所求最值的代数式转化为关于某个未知数的一元二次方程，再利用方程有实根，其判别式为非负数的原理来间接求得最值.

例3 已知m，n为实数，且㎡+mn+n=1， 则㎡-mn+n的最小值为

解：

例4

评注：在求最值问题时，若能结合题目的结构特征，通过巧设辅助元构建一元二次方程，再利用判别式求解，则可以达到化繁为简、化难为易的效果.

总之，解答代数最值问题的方法灵活多样，同学们在平时的学习中既要扎实掌握基础知识，又要注意勤练、多思，多方探索最值问题的解题途径，总结出行之有效的解题方法和技巧.