怎样运用二次根式的非负性解题

赵甜甜

我们把形如的式子叫做二次根式.由于在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数a只能是非负数，即又因为表示非负数a的算术平方根，也只能是非负数，即. 这里和是二次根式的两个隐含条件，也是二次根式的重要性质.正确理解并灵活运用二次根式的这两个非负性是解答一些与二次根式相关问题的关键.

一、利用求解

由二次根式本身的非负性可得二次根式的非负性和绝对值、完全平方的非负性一样，在解未知数个数多于方程个数的问题中起着十分重要的作用，其依据是“若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0”.

例1

分析：根据几个非负数的和为零，那么每个非负数均等于零，从而求出的值，即可解答所求问题.

解：

二、利用中被开方数a≥0求解

由于只有非负数才有平方根和算术平方根，负数没有平方根和算术平方根，所以a≥0

是存在的必要前提.但在题目中，a≥0作为一个隐含条件是不会直接出现的，我们要充分利用这一隐含条件，结合题目的其他条件进行分析，解答相关问题.

例2

分析：根据被开方数大于等于0列式求出a的取值范围，然后去掉绝对值符号，再把两边平方后的式子整理即可得解.

解：

三、同时利用a≥0 和求解

式子表示非负数a的算术平方根，它是一个非负数，而a也是一个非负数，这种双重非负性在数学解题中有着重要作用.挖掘出题目中隐含的这两个非负性，并在解题过程中做到有机配合，可以避免用常规方法造0的复杂运算或错解，从而收到事半功倍的效果.

例3

分析：根据二次根式有意义的条件求出的值，根据非负数的性质列出方程组，解方程组求出a、b、c的值;

解：

四、利用公式求解

二次根式的性质是二次根式化简的依据.当a≥0 时，.因此，运用二次根式的性质进行化简时，一定要结合具体问题，先判断出被开方数a是什么数，然后再化简.

例4

五、逆用公式解题

我们在化简某些二次根式时，有时需将根号外的式子移入根号内，以使式子的化简更为顺利.如果根号外的式子为非负值，可以将其平方后移入根号内，根号前的符号不发生改变;如果根号外的式子为负值，那么要先将它变号，再平方后移入根号内.

例5

分析：

解：

通过上面的几个例题我们知道，二次根式的非负性是我们寻找解题思路的突破口.因此，我们要充分挖掘二次根式问題中隐含的非负性的条件，从而准确又迅速地完成解题.