巧用数学思想，妙解平行线问题河南洛阳

楚源

平行线问题是初中几何中的一个重要内容.它是同学们后续学习全等、相似等知识的基础.在证明两条直线平行或利用平行线的性质求角的度数和探究角与角之间的关系时，运用不同的数学思想求解，可化难为易，化繁为简.下面就解答与平行线有关的问题中常用的思想方法加以说明.

一、分类讨论思想

有些几何问题在题设中未给出图形，而需要根据文字条件作图后解答，这时要注意满足条件的各种情形，从可能出现的不同位置关系或图形的形状方面进行分类讨论.有些题目虽然给出了图形，但图形在运动过程中存在多种情况，在解答这类非确定性问题时，我们也要将几种可能出现的情况罗列出来，逐一加以论证解答.

例1

分析：此题中两条平行线将直线l3 分成了三部分，因点P是直线上的一个动点，并没明确点P的具体位置，故需考虑三种可能.

解：分以下三种情况：

（1）

（2）

（3）

评注：需要分类讨论的题目常具有如下特征：一是题目用语言来叙述，无图形;二是图形中存在运动变化的点，图形位置不唯一.解答这两类问题时都需要根据题意分类讨论.

二、方程思想

当题目中出现角度间的和、差、倍、分或比例关系时，很适合用方程思想来解答.对于这类问题，可以借助已知条件中各个数量之间的关系，设其中一个角为未知数，然后用代数式表示出与它有关联的角，再寻找各角之间的等量关系式建立方程，从而将复杂的几何问题转化为简单的方程问题来解答.

例2

分析：此题中三条平行线与其它两条直线相交形成的角错综复杂，因条件中给出三个角的比值，故可以通过设未知数的方法，将之转化为一元一次方程问题，使得求解更为简捷.

解：

评注：图中涉及内错角、同位角、同旁内角，角与角的关系比较复杂，且这些角度都是未知的，因此可以用方程思想来理顺各角之间的关系.

三、转化思想

在解答几何问题时，已知条件和待求的结论之间常常需要转化.在解答有关两直线平行的问题时，我们也常常需要将平行的“位置关系”转化为角的“数量关系”，或是将角的“数量关系”转化为平行的“位置关系”.转化条件、转化问题是解题过程中常用的推理形式，必要时还需要添加辅助线进行转化.

例3

分析：本题已知角的和，及角的平分线，可利用角的和、差进行转化，创造平行的条件.

例4

分析：解答此题需要借助辅助线把这三个角联系起来.题目中已有平行关系，那么就要想办法把平行线和角联系起来.

解：

评注：在解题的过程中，有时仅利用现有条件不容易得出结果，这时我们就要巧妙添加辅助线，将问题与条件进行转化.

数学思想是对数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的一种本质的认识.平行线是初中阶段的基础知识，学习平行线是学习演绎推理的開端.因此，掌握好数学思想方法是提高解题能力的根本所在.