电功率图像问题探讨

于洋

[摘 要]物理图像是物理课程体系的重要组成部分，其中电功率的图像问题是教学的重点和中考命题的热点。如何正确理解动态电路中电功率与电流、电压、电阻等物理量之间的函数关系、图像关系是物理教学的难点。掌握这些物理量之间的函数、图像关系，对解决初中物理电功率问题至关重要。

[关键词]电功率;物理图像;初中物理

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）14-0051-03

电功率及其相关知识是初中物理教学的重点，电功率是比较抽象的概念，而初中生的思维主要以形象思维为主，需要以具体事例、数据、图像帮助他们理解电功率问题。图像采用数学中的函数关系来表现物理规律，能够直接反映某个物理量随着另一个物理量变化的关系，将原本抽象的内容图像化，从而使物理量之间的关系变得更直观、更容易理解。利用图像信息分析电功率问题不但可以化繁为简、化难为易，而且能培养学生分析与解决问题的能力，提高学生对电学知识的综合运用能力。

一、从一道广东省中考题说起

2020年广东省中考物理第22题，从知识角度看主要考查欧姆定律、电功率的计算式[P=UI]及推导式的应用。从能力角度看，主要考查分析物理情境建立物理模型的能力、信息获取能力和计算能力。题目的难点主要集中在第（4）问。现结合具体题目进行分析。

[题目]（2020年广东省中考物理第22题）小明家的台灯是通过电位器来调节亮度的。他猜想：台灯变亮时电位器消耗电能的功率会变小，为此他设计了如图1甲所示的电路进行探究，已知电源电压为4 V并保持不变，电压表（0～3 V）2个，电流表（0～0.6 A）， 滑动变阻器规格为“20 Ω，1 A”，小灯泡L标有“2.5 V，1.25 W”字样（忽略温度对灯丝电阻的影响）。

（1）电路中[a]是               表，[b]是               表;

（2）实验中，小灯泡正常发光时电流表的示数为               A;

（3）根据实验数据，绘制出滑动变阻器的功率[PR]与小灯泡的电功率[PL]的关系图像如图1乙所示，由图可知：小灯泡的电功率（亮度）变大时，滑动变阻器的电功率               ;

（4）假设实验所用的小灯泡能承受的最大电压可以高出其额定电压的1/4，在确保电路中各元件安全的情况下，移动滑动变阻器的滑片，小灯泡的电功率变化范围是从               W至               W。

[解题思路分析]

（1）分析电路可知，[a]表与小灯泡L串联，是電流表;[b]表与滑动变阻器[R]并联，是电压表。因此，小灯泡L和滑动变阻器[R]串联，两个电压表分别测量灯泡和滑动变阻器两端的电压，电流表测量整个电路中的电流;

（2）小灯泡L标有“2.5 V，1.25 W”字样，表示其额定电压为2.5 V，额定功率为1.25 W，根据[P=UI]可得，小灯泡正常发光时电流表的示数为：[IL=PLUL=1.25 W2.5 V=0.5 A];

（3）根据图1乙绘制出的滑动变阻器的电功率[PR]与小灯泡的电功率[PL]的关系可知，小灯泡的电功率（亮度）变大时，滑动变阻器的电功率先变大后变小;

（4）根据“2.5 V，1.25 W”以及公式[P=U2R]可得，小灯泡正常发光时的电阻为[RL=5 Ω]，忽略温度对灯丝电阻的影响，其电阻值不变。实验所用的小灯泡能承受的最大电压可以高出其额定电压的1/4，即灯泡两端的最大电压为3.125 V，此时通过小灯泡的最大电流为[Imax=0.625 A]。但是根据题目中的已知条件，电流表选用的量程为0～0.6 A，即电路中允许通过的最大电流为[Imax=0.6 A]，所以小灯泡的最大功率为[Pmax=1.8 W]。

根据串联电路电压之比等于电阻之比，滑动变阻器连入电路中的电阻越大，其两端的电压越大，根据电压表的量程0～3 V可知，滑动变阻器两端电压的最大值为3 V，并且此时电流最小。由串联电路电压的规律可得，小灯泡的最小电压为[UV=4 V-3 V=1 V]，小灯泡的最小功率为[Pmin=0.2 W]，在确保电路中各元件安全的情况下，移动滑动变阻器的滑片，小灯泡的电功率变化范围是从0.2 W至 1.8 W。

二、方法归纳

物理教学需要注重科学方法的训练。学生通过分析电路图以及电功率图像可以得出准确的答案，但是如何得出图1乙的电功率图像依然不够明确。下面以图2所示动态电路中的[P-I]、[P-U]及[P-R]等图像问题为例，对函数与物理图像的关系进行总结。

（一）电路的总功率

电路分析：滑动变阻器[R1]和定值电阻[R2]串联，电压表测量滑动变阻器[R1]两端的电压。电路的总功率即电源消耗的总功率。电源总功率等于电源电压与通过电源的电流的乘积[P总=UI]。

（1）在图2甲中，如果滑动变阻器滑片[P]处在[N]端，[R1=0]，此时电流最大[Imax=UR2]，总功率最大为[Pmax=U2R2];

（2）如果滑动变阻器滑片[P]处在[M]端，且[R1→∞]，此时电流最小[Imin→0]，总功率最小为[Pmin=0];

（3）[P总-I]图像如图3中Ⅰ所示，斜率[k=U]。

（二）定值电阻[R2]的功率

定值电阻[R2]的功率等于其两端电压[U2]和通过它的电流的乘积：[P2=U2I]，即[P2=UR1+R22R2]。

（1）在图2甲中，如果滑动变阻器滑片[P]处在[N]端，[R1=0]，此时电流最大[Imax=UR2]，总功率最大为[P2=P总=U2R2];

（2）如果滑动变阻器滑片[P]处在[M]端，且[R1→∞]，此时电流最小[Imin→0]，[R2]功率为[P2=0];

（3）[P2-I]图像如图3中Ⅱ所示，为开口向上的抛物线。

（三）滑动变阻器[R1]的功率

1. [R1]的功率和电流之间的关系[P1-I]

滑动变阻器[R1]的功率等于电路总功率和定值电阻[R2]功率之差：[P1=P总-P2]，即[P1=UI-I2R2]。

（1）[P1-I]图像如图3中Ⅲ所示，为开口向下的抛物线;

（2）如果滑动变阻器滑片[P]处在[N]端，[R1=0]，此时电流最大[Imax=UR2]，[R1]功率为[P1 =0];

（3）如果滑动变阻器滑片[P]处在[M]端，且[R1→∞]，此时电流最小[Imin→0]，[R1]功率为[P1=0];

（4）当电流[I=U2R2=12Imax]，时，此时[R1=R2]，[P1max=U24R2]。

2. [R1]的功率和电压之间的关系[P1-U]

滑动变阻器[R1]的功率：[P1=U1I=U1U-U1R2=-1R2U-12U12+U24R2]。

（1）[P1-U]图像如图4所示，为开口向下的抛物线;

（2）如果[R1=0]，此时电流最大[Imax=UR2]，[R1]功率为[P1 =0];

（3）如果[R1→∞]，此时电流最小[Imin→0]，[R1]功率为[P1=0];

（4）当[U1=12U]时，[R1=R2]，最大功率为[P1max=U24R2]。

3. [R1]的功率和电阻之间的关系[P1-R1]

滑动变阻器[R1]的功率为：[P1=I2R1=UR1+R22R1=U2R1-R22R1+4R2]，当[R1=R2]时，滑动变阻器有最大功率[P1max=U24R2]。[P1-R1]图像如图5所示，从图中可知滑动变阻器的功率随着电阻的变化而变化，并且[R1]越靠近[R2]功率越大。在[R1]功率取得最大值[P1max]之处，功率在0～[P1max]都对应着两个电阻[ra]和[rb]，此时[Pa=Pb]，即[Ura+R22ra=Urb+R22rb]，经计算可知[rarb=R22]，如果[ra]和[rb]对应的电流分别为[Ia=Ura+R2]和[Ib=Urb+R2]，结合[rarb=R22]有[Ia+ Ib=UR2]。

4.[R1]的功率[P1]和[R2]的功率[P2]之间的关系[P1-P2]

滑动变阻器[R1]的功率：[P1=P总-P2=UI-P2=-R2P2R2-U2R22+U24R2]，当[P2=U24R2]时，[R1]的功率最大，且此时[P1=P2=14P总=U24R2]。

（四）例题分析

【例题】在如图7甲所示的电路中，电源的电压恒定，滑动变阻器的最大阻值为 [R1=8 Ω]，[R2]为定值电阻，但看不清标识。 滑动变阻器滑片从左端 [M]滑到右端 [N]的过程中，滑动变阻器的电功率 P随PN间电阻[R]变化的关系如图7乙所示，其中滑动变阻器阻值取2 Ω和8 Ω时电功率相同，则以下说法正确的有（）。

①定值电阻[R2 =4 Ω];

②电源的电压为6 V;

③电压表的最大示数为4.5 V;

④滑动变阻器的最大电功率为2.25 W。

A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④

[解题思路分析]

（1）电路分析：滑动变阻器[R1]和定值电阻[R2]串联，电压表测量[R1]两端的电压。

（2）题目分析：关键句，“滑动变阻器阻值取[2 Ω]和[8 Ω]时电功率相同”，通过图7乙可知，此时的功率为2 W，所以由[P=U2R]可得，在[M]点[R1=8 Ω]，[P1=U21R1=U218 Ω=2 W]，[故U1=4 V]。

在[R'1=2 Ω]处，[P'1=U'21R'1=U'212 Ω=2 W，此时U'1=2 V]。

（3）解答：当滑动变阻器[R1]的滑片[P]在[M]点，即接入到电路中的阻值最大为8 Ω时，[R1]两端的电压最大为[U1=4 V]，所以③错误。

利用结论：在串联电路中，电压之比等于电阻之比，即[U1U2=R1R2]。在[M]点滑动变阻器以最大阻值接入电路，即[R1=8，U1=4 V]，有比例关系 [4U-4=8R2];在[R'1=2 Ω]处，[U'1=2 V]，有比例关系：[2U-2=2R2]。由上述两式解得，[U=6 V，R2=4 Ω]，所以①和②正确。

计算滑动变阻器最大功率。这里有两种方法，方法一：利用电阻判断。滑动变阻器电功率[P1=I2R=UR1+R22R1=U2R1R1-R22+4R1R2=U2R1-R22R1+4R2]，即当[R1=R2=4 Ω]时，电阻[R1]有最大功率[P1=U24R2=2.25 W]。方法二：利用电压进行判断。[P1=U1I=U1U-U1R2=U16 V-U14 Ω=-14U21+32U1]，即电阻[R1]的功率是关于电压[U1]的二次函数，过原点且开口向下，当[U1=3 V]时存在最大功率，为2.25 W。

三、小结

图像是表述物理量变化关系的一种方式。通过对电功率公式的推导，将电功率与电压、电流、电阻等物理量之间的关系表示出来。根据这些关系绘制的电功率与电压、电流、电阻等物理量的图像，直观表达了在串联电路中电功率随相关物理量变化的特点，便于学生理解图像关键點所代表的物理意义，在一定程度上能够提高学生的认知水平。在物理教学过程中，有意识、有计划地引导学生从图像中获取信息，运用图像分析问题，可以提高学生获取信息、识别图像、处理数据的能力。

（责任编辑 易志毅）