巧建坐标系探讨高考数学题中空间角的求解技巧

石巧　陈国华

摘要：本文通过对历年高考题中关于立体几何题中直线与直线所成角、直线与平面所成角以及平面與平面所成角问题的分析与解答，学生能熟练运用建立空间直角坐标系来求解空间角.

关键词：空间直角坐标系;空间角;高考数学题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）19-0082-03

1 求异面直线所形成的角

在求异面直线所成角θ时（θ∈0°，90°），首先建立空间直角坐标系，然后求出两直线的方向向量，最后代入公式求出余弦值，因为θ为锐角，所以选正值即可.

例1（2015年全国Ⅰ卷理科第18题）如图1，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E， F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

2 求直线与平面所成的角

3 求平面与平面所成角即二面角

求二面角时先建立空间直角坐标系，再求出题目里需要用到的点的坐标，进而求得两个所求平面的法向量，最后利用公式求出二面角的余弦值.

小结建立空间直角坐标系求解二面角时要将二面角的大小转化成两个半平面的法向量的夹角.如果两个半平面的法向量所指的方向当中，一个指向了二面角的外部，另一个指向二面角的内部，那么法向量的夹角等于二面角的平面角.如果两个半平面的法向量所指的方向均指向二面角的内部或者外部，那么法向量的夹角等于二面角的平面角的补角，最重要的是，用平面的法向量求解二面角的大小时要先确定两个半平面的法向量，然后再根据法向量的方向确定二面角的大小.

本文通过对空间角常考的三个方面进行了分析，主要介绍了如何建立空间直角坐标系来求解这些问题，以及求解这类问题时的一般步骤和求解技巧.探讨了高考题中这类问题应该如何思考，在建立空间直角坐标系时三维坐标应该如何选取才能使计算得到最简单化，计算出来的结果应该注意哪些方面尤其是二面角，要注意观察.

参考文献：

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[责任编辑：李璟]