例析两类解三角形问题的解法

张建荣

解三角形是高中数学中的重要模块，解三角形问题经常出现在高考数学试题中，其常见的命题形式有求值和求取值范围，侧重于考查正弦定理、余弦定理的应用以及运用三角函数公式进行恒等变形的方法.三角形中共有六个量，即三个边和三个角，一般需要根据其中任意的三个量（除已知三个角的情况）来求其他几个量，如果缺少条件，就只能求其相关量的取值范围，下面重点探讨一下两类解三角形问题的解法

题目中给出了半角的余弦值，于是根据二倍角公式即可求得角C的余弦值，然后根据余弦定理，将角化为边，从而求得边AB的值.

根据已知条件可知三角形的一个角以及三边之间的关系，需先运用余弦定理将角化为边，然后运用正弦定理建立边角之间的关系，再根据三角形的面积公式求得问题的答案，

要求得边6的大小，需根据三角形的面积公式、余弦定理建立关于三条边之间的关系式，通过解方程求得问题的答案.

二、求取值范围

此类问题的常见命题方式是根据已知三角形的边角关系，求三角形的周长、面积、角、边的取值范围，解答此类问题的思路有两种，一是根据正余弦定理建立边之间的关系，利用重要不等式或基本不等式来求得取值范围;二是利用正余弦定理将边化成角，将目标式转化为关于某个角的三角函数式，利用正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质来求解.在处理三角形中的边和角的过程中，一般要将所有的边角关系全部转化为边的关系或角的关系.

本题中所给的条件为角的关系，不易从边人手，所以需先根据正弦定理将边化为角，建立关于角B的三角函数式;再利用余弦函数的有界性求出B的范围，解答本题，需将B视为主元，在求表达式的范围时，需将A、C均用B來表示，以便于求得其值域.

解答本题，需先运用正弦定理将角全部转化成边，得到三边平方和差及两边的乘积，然后运用余弦定理求得角A的值，并建立三边之间的关系式，再根据基本不等式以及定理：三角形的两边之和大于第三边，求得△ABC周长的最值，

总之，解答解三角形中的求值问题，关键是运用正余弦定理进行边角互化，再根据勾股定理、三角函数的基本公式求值;解答解三角形中的取值范围问题，关键是运用正余弦定理将边角关系统一，将问题转化为最值问题，再根据三角函数的有界性、基本不等式来求得最值.在解答解三角形问题时，要注意挖掘隐含条件：（1）三角形的两边之和大于第三边;（2）三角形的内角和为180°;（3）三角形的边、角均为正数;（4）大角对大边、小角对小边，并将其作为解题的重要依据.

（作者单位：甘肃省天水市田家炳中学）