怎样用向量知识解答力学问题

马丽欣

平面向量兼有“数”“形”两重身份，是解答高中数学问题的重要途径，也是解答实际应用问题的有力工具，对于一些力学中的速度、力、动量、功等应用问题，其实质就是一种特殊的平面向量（矢量）问题，合理构建向量模型，利用数学中的平面向量知识解决这些物理问题，可以实现物理学科与数学学科之间的合理交汇与巧妙融合，进一步建立多个学科之间的联系，

一、速度问题

有关速度、加速度、位移等问题在物理学科中比较常见，而在物理学科中，速度、加速度、位移等是矢量，即有方向，又有大小的量.在解答此类问题时，我们可将速度、加速度、位移等看作一个平面向量，根据平面向量的概念、运算性质等建立关系式，通过向量运算来求得问题的答案.

例1.点P在平面上以速度v=（一2，3）作匀速直线运动，若4秒后点JP的坐标为（-5，16），则点P的初始坐标为（ ）.

A.（3，13） B.（3，4）C.（-7， 19） D.（-13， 28）

分析：由题意可知速度这一矢量的坐标，先设出点P的初始坐标为（x，y），根据平面向量坐标的概念建立对应的坐标关系式，通过解方程组求得到x、y的值，即可得到点P的初始坐标，

解：根据题意设P的初始坐标为（x，y），

点P在平面上以速度v=（-2，3）作匀速直线运动，若4秒后点P的坐标为（-5，16），

则（-5一x，16-y）=4（-2，3）=（-8，12），

解得x=3，y=4，即点P的初始坐标为（3，4），故答案为B.

解答本题，需根据向量的概念以及向量加法的坐标运算法则建立关系式，在解答物理中的速度、加速度、位移等问题时，要明确向量与这些矢量之间的联系，建立相应的关系式，以便运用向量的概念、运算法则来解题.

二、力问题

我们知道，力是有方向、有大小的量，这与向量的特性一致.在解答力的问题时，可将力看作向量，根据三角形法则、平行四边形法则来对力的合成与分解进行分析、运算，从而求得力的大小.

例2.如图1所示，在细绳D处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅直方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.

（1）试分析|F1|、|F2|随着夹角θ的变化而变化的情况;

（2）当|F1|≤2IGI时，试求夹角θ的取值范围，

分析：这是物理中的力的问题，需利用平面向量的平行四边形法则来将力进行分解，把物理问题转化为平面向量问题来求解.

解：（1）根据受力平衡，结合平面向量的线性运算性质，可知-G=F1+F2，

三、动量、功问题

物理学科中的动量可用mv表示，其中m是物体的质量，v是物体的速度.而功W实质就是力F与其所产生位移S的数量积，即胙F.S.动量、功均可用数学学科中平面向量的数乘运算来表示.在解答动量、功问题时，可将m、v、F、5分别看作向量，根据平面向量的数乘运算法则、数量积公式、模的公式来进行求解.

例3.一个质量为m的小球在前进过程中碰到挡板后反射，角度如图2所示，若小球的入射和反射速度大小均为|v|，则碰撞挡板后反射的过程中小球的动量变化大小为____.

解：以水平向右的方向为正方向，则小球入射时在水平方向上的动量与反射时在水平方向上的动量相等，均为mvcosθ，

以竖直向上的方向为正方向，则小球入射时在竖直方向上的动量为mvsin0，则其大小为mlvlsinθ，此时碰撞过程中小球的动量没有变化;

以竖直向上的方向为正方向，反射时在竖直方向上的动量为-mvsinθ，则其大小为mlvlsinθ.由于方向相反，所以碰撞过程中小球的动量变化大小为2mlvlsinθ.

解答动量问题，需通过数形结合来求得相应平面向量的方向与大小.在解题时，还需要注意物理中的动量对应的方向和夹角.这些央定着动量的大小、变化的量

例4.如图3，某人用1.5m长的绳索，施力25N，把重物沿坡度为30°的斜面拖上了6m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2m.求此人对物体位移所作的功.

分析：要求此人对物体位移所作的功，需將其转化为求解作用力F与物体的位移两者之间的数量积.根据向量数量积的公式，求得作用力F与物体的位移两者之间夹角的大小，便可求得此人对物体位移所作的功，

物理中的功问题，其实就是平面向量中的数量积问题，通过平面向量运算便能轻松处理物理问题.

以平面向量知识为工具来分析、解答物理问题，可以使问题的解答过程变得更加简单、便捷利用平面向量（矢量）来分析与解答物理问题，关键在于将物理中的量与平面向量建立对应的关系，借助平面向量的概念、运算法则、公式、定理等来求得问题的答案.这对于实现学科之间的融合与交汇，培养综合分析能力有非常重要的意义.

（作者单位：宁夏银川市第二中学）