小学数学数形结合思想的运用与教学分析

梁雪梅

数形融合，是指通过数上构形或形中觅数来求解的一类思维方式。在小学数学课程中，它既是一个主要的数学思维理论与方式，也是一个认识数学、学好数学的有效手段。人们在研究数的时候，总是要通过对形状的直接认识来分析，使数更加清澈、透彻;而在研究形的时候，则总是偏离数的内在实质。所以，在小学数学课程中有机地渗入了数形融合思想，通过探索数和形间的联系，就可以使疑难定义、困难问题都豁然开朗、迎刃而解。

1. 以形悟数，在直观中建立概念

数概念是数理经验的种子，是发展学生思维能力的重要源头。所以，学校在教育抽象化的数概念时，应用图形的直观形式来表现数的精确，让学生在认识概念的同时抽象出数概念的内容和外延，以便形成合理的、科学的数概念。在案例1：人教版四年级下册“小数的近似数”中，强调“在表示接近数时，小数结尾的零不能去掉”。学生虽然能记住这种概念，但很容易和小数的性质（小数的末尾添上零或去掉零，小数的大小不变）混淆。如何引导学生比较近似值七点八和七点八零的异同点呢？教学中笔者在数轴上表示出接近似值七点八和七点八零的取值范围，让学生更清楚地看出了为什么以七点八零结尾的零没有去除，同时又深切地感受到七点八零比七点八更精确。而通过用几何轴直接、形象的解析，不但有助于学生掌握接近数的定义，同时也在学生头脑中形成了小数与接近值的模型，对精确到小数的位号有了更本质的理解。

2. 以形解数，在连接中体悟方法

小学生的基本逻辑思考主要以表象思考为主，而抽象式思考则相对薄弱。在课堂教学中，将抽象式的数量关系通过直接的形象图来表现，可以做到化隐为显、化难为易，以便于将某些数学问题加以合理地转化，使解法思路更为明确了。在案例2：教学人教版四年级下册的“乘法分配律”后，发现了“1997×2013-1996×2014”一题。因为题目中的数值相当大，直接运算相当困难且易出错，所以必须分二次使用乘法分配律来运算，能掌握的学生很少。于是笔者将这道题通过代数变形法加以教学，形象而直接地表示了此题的含义，准确率也大大提高了。在课堂教学时，利用图形展开了下面的教学内容：长方形ABCD和正方形AEFG，其中CD=2013， AD=1997， AE=2014， EF=1996。由图可知，由于ABHG是二正方形交叉的区域，所以我们可以将原始的计算方式转换为求二正方形的面积之差，亦即求正方形GDCH与长方形BEFH的积面之差，通过几何学直接方便地得到正方形GDCH与正方形BEFH的宽都为1，所以，两者之差：2013×1-1996×1=17。经过如此直观、形象的剖析，学生從数和形的连接中充分体会到了解题策略的多样性。

3. 以形构数，在过程中探究奥秘

数与形是研究的两种对象，在处理某些抽象的、繁杂的、不好理解的教育问题时，运用形象、直接的来阐述繁杂、抽象思考的数学教育问题，在数上构形、形中觅数，使繁杂提问简洁化、抽象思考提问具体，化难为易，化抽象思考为直接，既充分调动了学生学习趣味，也促使了学习者思想能力的提高。案例3：人教版六年级上册“数学广角”解决特殊的分数加法计算：…在教学活动中，让学生通过仔细地观察计算中加数之间有哪些规律，然后依序类推，将无限多个加数相加，到底之和是什么？然后指导学生通过画图来思考，以此突出图画的重要性。可以将一长方形作为1，先取，然后取再加下去，就这么一直不断地加下去，发现这样一直不断加下去，直到空白部分愈来愈小，一部分学生就缩小得没有了，而阴影部分也占满了整个长方形，很自然地得出了它的和无限逼近一，也就是等于一的道理。如此，通过数与形的结合，既使学生从绘画中探索了数学的奥妙，也在探索的过程中更深入地体会极限的思维，从而体验了探索数学奥妙的趣味过程。

4. 以数显形，在观察中理解本质

在小学数学计算教学中，有意识地用形来引导学生从观察中，找出了计算背后所蕴藏的算理，以之来揭示计算的全过程，让学习者从观察中真正掌握和领会。案例4：六年级下册“数与形”中的基本计算题：1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=？和1+3+5+…+197+199=？指导学生将其中的每一个加数都设想为一点，并通过从点阵图中的分布中去探索、去观察，进而找到以另一种视角去思维的经典方法。由上到下一层一层数，就可以得到：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1，然后再仔细观察，图四按顺时针方向转动约45°就得出图四中直视的所有正方形点阵图形，也可以得出总数为10×10=100。然后再按照图四由下向上沿着折线数，便可得到结果：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。仔细观察图形，可以找到这二题都可以用同一方法10×10=100来运算的规律性。正是通过这样的教育方法，不但让学生看到了不同的运算可以用同一的形式来表现其所包含的本质，而且让学生可以从观察中发现数和形的一一对应性，更深入地感悟到了计算方法的多样性。

5. 以数想形，在对比中抽象本真

在实际课程中，学习者在树立形象后，一般用数的抽象特征来解决形的直观问题，而很少从多角度去探究概念和思维的本质本真。但实践证明，赋予了学习者充分的学习时间，使学习者把握数的具体特征，在探究过程中从各种视角去想象、分析、思维，从比较、概括过程中逐渐理解概念、抽出实质，以使学习者的空间观得以发挥，思维能力也得以训练。案例5：根据人教版五年级数学课本“三角形的面积”的教学内容，在给出三角形的面积公式后，有助于学习者理解“同底等高的三角形面积相同”这一特性。首先让学生进行测量下三角形的面积，再让学生进行想象，底为六高为四的三角形就只有这一个吗？若不只一个，还可能是怎样的？让每个学生都进行头脑大风暴，在对照中一一呈现。帮助学生从这个外形截然不同的三角形中展开比较，慢慢领会“同底等高的三角体积都相同”这一特性的本真。

6. 以数释形，在明理中构建概念

图象直接、形象地把握着人的视线，在数学课堂中也是这样，但在有些教学实践过程中，教师单纯地凭直接图像展示数学课堂，有时非但无法很好地理解图像，也无法掌握图像背后的精神，有时甚至影响到数学课堂的本真。这时，教师需用数来阐释图像的价值和图像后所蕴含的特点、规律等，让学习者更好地认识图象，从而使形达到更好的教学效果。案例6：在人教版六年级下册“图像的扩大与变小”课程中，教师给出了几样不同尺寸的长方形国旗，并询问学习者：这几幅图中，哪几幅看上去舒适，外形也一致？原因为何？在这些提问的引导下，学习者初步了解在实际生活中什么外形是正规的。在此基础上，进一步让学习者去探究长扩大的倍数是否与宽扩大的倍数相等。体会扩大和变小的“大小不同，外形相同”，以便更加理解比的实质意义和比在实际生活中的运用，为以后的教学打下了基础。

7. 数形互译，在融合中构建新知

数与形相融合的实例，在小学数学课程与教材中比比皆是。在数学课程中，将算理定义和运算常用数与形一一对接，让学习者切身地感受进行算理的流程，从而深入了解算理的实质;在定义课程中，通过数形结合，帮助学生在了解定义的同时，以形的直观来增进对数的认识，并以数的真实来提升学习者对形的体验，使其更进一步地构建数理新知;在计算数学广角的课程中，更离不开数与形的融合，通过数与形让学习者在认识的深入程度上降低了认识困难，从而增强了解题的能力。案例7：在人教版六年级上册“数学广角”的练习题中发现了完全平方公式，用现代小学知识点怎样了解（a+b）2=a2+2ab+b2，我们应该根据图形用面积计算的知识来思考。（a+b）2只能看成边长是a+b的大方块面积，在大方块中分出一组边长为a的长方块、一组边长为b的中方块和两个相等的长方块，认为大方块面积等于a2+2ab+b2，所以得到（a+b）2==a2+2ab+b2。另外，在容斥问题、行程提问中，图是个好助手，甚至于应该说如果脱离了图，小学生就很难认识这一类提问。但在课堂教学中将数与形有机地融合起来，既可充分调动学生的学习兴趣，也可促进学习者积极主动地掌握，进而高效建构新知，使课堂教学工作到达合理、高效的程度。

8. 数形互译，在理解中提升思维

人教版六年级下册“策略问题”中有一个练习：一只蚂蚁，从一个6×5网格的左下角A点处，要爬到右上角的B点去，如果其中间只有一个4×1的长方形空格，而其他都是长方形，那么蚂蚁从A点爬到B点的最短路径有多少种爬法？这个题目如果用列举法处理，将相当复杂而且容易出错。若透过数形相结，并将题中的数量联系转换成形式联系，便可更直接、简洁地探讨出数学语言的奥妙。这样，就很容易计算出从A到B的最短路線，共一百八十二条。这样，就将数的精确体现在形的直观上，二者和谐融合，让数、形都充满生命力，从而达到了教育的效果，进而更好地提高了中小学生的思维能力。

结束语：

总之，在小学数学课程中，将数与形有机地融合一起，以形的形式直接展现数的奥妙，以数的形式精确掀开图形中所蕴涵的实质，让数形结合和相融，从而有助于学习者建立数的基本概念，深入认识数的实质，让解题思路和步骤更为具体，同时使学习者体验探索数学教育奥妙的整个流程，从而更好地展现科学知识生成的整个流程，并以此锻炼学习者的思想、提高学习者的数理素养，切实提高课堂教学效率。