基于数学本质的课堂教学设计路径

何垒 杨天波

摘      要

数学学科的本质是学生理解数学概念，把握数学思想，感悟数学思维，追求数学精神。在数学教学中把握数学本质可聚焦数学从哪里来、如何发展、应用到哪里去、留给我们什么等问题。并据此构建突出数学本质的包括知识层、教学层、目标层的课堂教学设计路径图，以发展学生的核心素养。

关 键 词

数学本质  数学学科核心素养  课堂教学设计

引用格式

何垒，杨天波.基于数学本质的课堂教学设计路径[J].教学与管理，2022（22）：47-49.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出“基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质”[1]。数学学科核心素养的培育必须落实到课堂教学中，因而在教学活动中，不论是情境的创设、问题的提出，还是学生知识的建构，都应突出数学本质。

数学本质即回答数学是什么的问题。张奠宙先生认为数学本质的内涵为“数学知识的内在联系，数学规律的形成过程，数学思想方法的提炼，数学理性精神的体验等诸多方面”[2]。史宁中教授认为，“数学是对现实世界的数量关系、空间形式和变化规律进行抽象，通过概念和符号进行运算与逻辑推理的科学”[3]。傅赢芳认为，“学生对数学本质的理解主要包括对数学知识的来源、发展以及运用的理解”[4]。基于上述定义，笔者认为可从广义和狭义两方面理解数学本质：广义的数学本质即回答数学是什么的问题，是从不同角度表达对数学的认知。狭义的数学本质聚焦于数学教学，指数学学科的本质即学生理解数学概念，把握数学思想，感悟数学思维，追求数学精神[5]。狭义的数学本质更利于教师在教学中把握数学本质，使数学教学回归本质。

数学本质是由数学内里回答数学为何，数学学科核心素养是自外部提出育人的总体目标，是“四基”的继承和发展，二者看似毫无关联，实则不然。“四基”是生成数学核心素养的载体，强调“四基”就是要把握数学知识的本质[6]。数学本质为数学学科核心素养的基石，数学学科核心素养是数学本质的上层建筑。素养与能力的培育必须借助体现了学科本质的教学来支撑[7]，数学核心素养亦是如此。数学学科核心素养的培育落实在课堂教学，而课堂教学的基点在教学设计。指向数学学科核心素养的教学以数学本质的诠释为前提，不只停留于知识的表面形态，更要注重其内核与实质，进而在教学的各个环节设计中逐步揭示数学知识的本质，使得学生感悟数学的本质，从而发展其数学学科核心素养（如图1）。

图1基于数学本质的教学设计路径

一、知识层：教师对数学知识本质的深刻理解

知识层是指教师在设计教学时，从知识来龙去脉的角度把握知识本质，从而保证教师对知识的理解，以及对数学知识本质的深刻把握。

1.数学从哪里来

从数学认识论的角度看，数学本质上是数学知识的经验性与演绎性在实践基础上的辩证统一[8]。即数学的研究对象一方面由现实世界中抽象而得，另一方面从数学内部演绎推理而来。第一，现实抽象。19世纪以前，人们普遍认为数学是一种自然科学、经验科学，也从侧面反映出大量的数学对象源于现实。人们在解决现实问题实践的基础上获得数学的经验知识。如算术和几何产生于日常生活、生产中的计数与测量。通过对现实生活的抽象，人们把现实世界中数量与数量关系、图形与图形关系抽象到数学内部，形成数学的基本概念。第二，数学内部。从现实中抽象而得的经验知识属于感性认识，此时的概念尚不精准，甚至会导致推理的矛盾。如数系的扩充过程，最初人类从现实生产、生活过程中抽象出自然数系，而随着认识的发展，人们发现自然数系是一个离散的，只能进行加法和乘法運算，不能施行逆运算的数系。于是产生了负数、分数等新的数学对象，逐步满足数学内部体系运算逻辑封闭性的要求。这是一类产生于数学发展完善过程中的知识。

2.数学如何发展

获得研究对象后，数学的进一步发展主要依靠推理。推理分为两类：一是从一般到特殊的演绎推理，二是从特殊到一般的合情推理，合情推理具体分为归纳推理和类比推理。演绎推理严谨而死板，归纳推理则更具思维的活力，二者相辅相成不可或缺。教材中呈现的知识是学术形态的冰冷的知识，严谨简洁且具有形式化的美感。这种形态的知识却不利于学生的接受与理解，因而把数学的学术形态化为教育形态是所有数学教师的责任[9]。将知识的学术形态转化为教育形态的途径之一是鼓励学生像数学家那样大胆去尝试、猜想、类比、归纳，进而引导学生采用演绎推理的方式证明自己的猜想。将知识的发生发展的全过程呈现给学生，尽可能使学生有动手操作的机会。教会学生分析问题的一般思路，研究问题的一般方法，如某个主题知识的建构过程，通常涉及概念、性质、特例关系及应用。从更宏观的角度去理解所学习知识的发展过程及结构，这样有利于学生逻辑推理素养的养成。

3.数学应用到哪里

数学知识的本质还存在于它的应用中，体会其中蕴含的数学建模、数据分析与数学运算，从而加深对知识本质、知识与知识间关系的理解。在数学知识的应用过程中体会数学概念的二重性，即许多概念既是一种过程，又是对象、结构。如“探究四边形的内角和”需要用到三角形内角和定理，若将其看作一个过程，将三角形内角和定理的探索过程迁移则可得出作平行线探究四边形内角和定理的方法，若将其看作一个确定的结论，则会在四边形内角和定理的探究过程中将四边形化作两个三角形，直接运用三角形内角和定理。从概念的应用过程中亦可加深学生对概念本质的理解。

4.数学留给我们什么

以往我国基础教育较为重视基础知识和基本技能，而忽略学生情感、态度及价值观方面的培养，这已然不符合新时代的育人目标，因而在后续的教育改革中将情感态度价值观加入到三维目标。教师应清楚地认识到“数学不等于数学知识”，数学家莱布尼茨认为：“数学的本质不在于它的对象，而在于它的思想、方法。”基于数学本质的教学在学生掌握数学基础知识和基本技能的同时，还需要适当地展示相关数学知识中所蕴涵的数学思想、理性精神、数学文化及数学美。比如在高中三角函数的概念教学中，可适当地介绍三角学与天文学的背景知识，以此凸显人类对宇宙奥秘的探索精神，激发学生的创新意识，发挥数学在学生理性分析问题、批判性看待问题、创造性解决问题过程中的作用。

二、教学层：强调数学本质的教育形态知识

中间层为教学层，是指教师对知识本质的深刻理解后的教育形态转化，有助于学生理解数学本质，应渗透在教学的各个环节中。

1.设置适宜的教学情境，感受数学本质

在课程改革的熏陶下，教师大都具备创设情境的意识，但存在情境泛滥、情境过难、情境流于形式等问题，因此应创设恰当的情境。从数学来源的角度考虑，如高中“三角函数”这一章节内容的引入，可创设现实生活中四季变化、月亮圆缺、潮汐变化等具有周期性变化的情境，这是因为三角函数是因刻画现实中周期现象而发展的。若知识产生于数学内部，则不宜采用现实情境的方式进行导入，如“探究多边形的内角和公式”的课题，某些教师采用“设计一个正多边形的水池”的实际问题情境，其结果是学生在将实际问题转化为数学问题的过程中花费了大量时间，长期如此，学生会失去对数学学习的兴趣。倘若从数学本质出发，从数学知识的来源分析，多边形以三角形为基本图形，增加边数而得到，故“探究多边形的内角和定理”可利用三角形的内角和为情境，将多边形向三角形化归得到。

2.预设本原性数学问题，驱动数学本质

本原性数学问题指对学生理解某个知识最本质、最根本的问题。本原性数学问题从两个方面产生：一是教师在对数学知识本质准确把握的前提下，从数学知识产生、发展及应用出发，提出揭示当前数学知识本质的问题;二是学生在课堂上理解数学对象后，提出有关数学知识本质的问题。要提出本原性数学问题，教师必须准确把握数学知识的本质，并在瞬息万变的课堂中发掘学生提出问题的价值。例如高中函数单调性的教学中本原性数学问题为“如何用数学符号语言刻画单调性”。在本原性数学问题的驱动下，学生对数学的理解更加深入，能更准确把握概念的内涵与外延，理清概念之间的联系，体会知识蕴含的数学思想，形成数学核心素养。

3.突出知识间内在结构，强化数学本质

数学学习是以学习者已有认知结构为基础，通过同化或顺应，将新知识纳入认知结构的过程。基于数学本质的教学，必须使新旧知识建立起非人为的、实质性的联系，使学生掌握数学知识的内在逻辑，从而在头脑中建构起整体性、系统性的知识。例如学习数列时，首先使学生理解数列实质是离散的函数，在后续数列的研究中，自然能激活认知中关于函数的研究经验、方法及思想，因而研究等差、等比数列就可类比研究基本初等函数的经验，也就不难想到运用图像研究数列性质、推导前n项和公式等，从而将数列的相关知识纳入函数的认知体系中，与函数形成强联系，便于后续相关知识的存储与提取。

4.以数学基本思想为统领，深化数学本质

数学不等同于数学知识，数学教学也不只是数学知识的教学。数学对人的智力、理性思维、科学精神及创新意识的发展有着不可替代的作用，而数学的思维、精神的培养不是一蹴而就的，是在长期的数学学习中逐步渗透而得。在课堂中既需要知识的教学，还应凸显知识蕴含的数学基本思想，如抽象、推理及模型。由抽象得到数学的研究对象;以逻辑推理推出数学对象的性质及关系，促进数学的完备;凭借模型沟通数学与外部世界，从现实中来，又回到现实中去。数学基本思想贯穿于知识的发生、发展、应用的全过程，因此在课堂教学中，教师要以数学基本思想为统领，带领学生一同感悟知识发生发展的过程，理解数学知识的本质。在教学中渗透数学思想方法是改变知识本位教育的一个途径，也是基于数学本质的教学所依赖的。

5.引导反思总结，内化数学本质

教师须在教学中引导学生反思，积极主动地建构认知，对知识进行精加工，抓住知识背后的联系，提炼问题解决的方法策略，感悟数学思想方法，形成对数学的整体认识。例如，如果解题教学仅仅聚焦于解决某个具体的问题，使用具体的方法，而不对该题目、方法进行概括、总结，挖掘其中深层的思想，长此以往，學生不易产生迁移，题目稍加变动，则毫无办法、手足无措，导致“只见树木，不见森林”。反之，若在实际教学中引导学生总结时采用“树状图”，每学完一部分知识，就在“树图”中增加“枝叶”，学生头脑中的认知结构便会随之增长，愈加趋于完善，从而查漏补缺，内化数学本质。

三、目标层：学生对数学知识本质的准确把握

内层为目标层，是指学生在经历了基于数学本质的教学后逐步达到对数学本质的理解，最终形成和发展为学生的数学核心素养。与知识、技能等目标的达成不同，数学本质、数学核心素养是学生数学学习中的长期性目标，这些目标的达成需要逐步渗透、缓慢浸润。当前教学中，由于各种原因导致出现急功近利，将“短平快”地提升成绩作为目标，对知识浅尝辄止，将数学本质的把握视作副产品，如此何谈数学核心素养？何以立德树人？故而教育需要回到简约、回到纯粹、回到风清气正，数学教学需要回到数学本质，使得学生对数学知识的本质准确把握，在理解数学中生成数学核心素养。

总而言之，指向数学学科核心素养的教学以数学本质的诠释为前提。基于数学本质的课堂教学正是核心素养落地的一条路径。一线教师须摒弃成见，仔细研读课程标准及教材，洞悉数学知识的本质，着眼数学知识的源起、发展及应用，关注数学的思想方法、理性精神，体会数学的育人价值，如此，才能在教学中如鱼得水，真正培育学生的数学核心素养。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020：81.

[2] 张奠宙.教育数学是具有教育形态的数学[J].数学教育学报，2005，14（03）：1-4.

[3] 史宁中.关于数学的定义的一个注[J].数学教育学报，2006，15（04）：37-38.

[4] 傅赢芳，喻平.从数学本质出发设计课堂教学[J].教育理论与实践，2019，39（20）：41-43.

[5] 张明红.数学教学要回归学科本质[J].人民教育，2020（Z3）：91-93.

[6] 史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读[M].北京：高等教育出版社，2018：7-8.

[7] 钟启泉.基于核心素养的课程发展：挑战与课题[J].全球教育展望，2016，45（01）：3-25.

[8] 林夏水.论数学的本质[J].哲学研究，2000（09）：66-71.

[9] 张奠宙.教育数学是具有教育形态的数学[J].数学教育学报，2005（03）：1-4.