“双新”背景下高中数学逻辑推理素养发展要求及教学策略

陈军

摘 要：逻辑推理素养对学生数学学习和其他学科学习都有重要作用。在高中数学“双新”改革背景下，教师应充分把握新课程标准对高中数学逻辑推理素养培养的新要求，以解决高中生数学逻辑推理素养发展中的主体意识缺失、探究深度较浅、配套讲解不深入等问题，结合新教材内容对构建探究环境、设计探究活动、讲解教学等方法进行优化，以提高学生数学核心素养发展水平。

关键词：“双新”;高中数学;逻辑推理素养;探究

逻辑推理素养是学习数学所需的重要思维能力，其本质是在有充足证据的条件下进行的合乎逻辑的思维和推理，这种思维方法对于理解数学知识、解决数学应用问题有极大帮助，并会对学生学习其他学科知识、认知和理解社会规律等有一定帮助。2017年教育部在新版《普通高中数学课程标准》（以下简称新《课标》）中正式提出了高中生应具备的六大数学核心素养，逻辑推理素养就是其中之一，这也是高中课程标准改革中首次明确逻辑推理素养的地位，同期编写和修订的高中数学新教材也针对六大核心素养培养目标重新组织了内容，为高中数学逻辑推理素养培养提供了良好的条件。以往绝大多数数学教师会专门培养学生逻辑推理素养，但缺少课标指导和教材的系统化支持，实际培养效果并不完全理想，“双新”改革则对高中数学逻辑推理素养培养提出了明确要求和教材支持，教师应当结合以往教学中发现的问题来调整教学策略，以确保学生逻辑推理素养的有效发展。

一、“双新”背景下高中数学逻辑推理素养发展的新要求

教育部在2017版新《课标》中明确了培养学生逻辑推理素养的要求，指出其是构建数学体系（及知识结构）、得到数学结论的思维过程，也是一种数学交流的基本思维品质。新《课标》明确了逻辑推理素养的价值，也对同步修订的新版教材起到了指导作用，配套教材中对逻辑用语、推理与证明方法等内容进行了集中整合，并在训练部分与《高中数学考试大纲》中“对推理论证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷”的要求有效结合，重点对类比、归纳、演绎等关键教学方法进行系统化培养，更有助于培养学生逻辑推理素养。教育部在2020年对新《课标》做了小幅修订，其中进一步明确了培養学生数学逻辑推理素养的几点要求，即将数学学习与现实世界联系起来、强调趣味性的导入与探究深度、做好对数学知识（以及运用逻辑推理素养认识数学知识的方法）的系统化讲解[1]。

总体来看，“双新”背景下高中数学逻辑推理素养发展成为必要的教学任务，同时新《课标》和新教材都为这一培养工作提供了良好前提。但以往数学教育中的逻辑推理素养培养工作大多是泛化（对逻辑推理能力的培养不全面、不深入）和不全面（对培养对象的选择是有局限性的，教师常会优选数学成绩优异的学生进行重点培养）的，这使得许多学生在义务教育阶段对数学逻辑推理素养的认识不足，少数教师也缺乏系统化培养学生逻辑推理素养的意识和经验，这对高中数学逻辑推理素养培养工作制造了一定障碍。教师需要正视此类问题，做好教学改革工作。

二、“双新”背景下高中数学逻辑推理素养发展面临的问题

（一）现实探究环境不佳且学生主体意识缺失

逻辑推理是一种主观思维观念与思维方法融合的素养，其本质上分为两个层面，一是人在头脑中先对目标问题形成一个猜想、假设等判断，二是在头脑中对这一初设判断进行心理分析和判断。其中研究的范围出现变化，但推理的前提是先有自主判断[2]，这是人在逻辑推理实践中的独特优势，也是一种特殊限制。从教学实践的角度来看，有一部分学生在日常学习中本身缺乏主体意识，很少自主去思考和判断，缺乏逻辑推理所需的自主判断前提，在这种情况下教师的引导也很难发挥作用。

从逻辑推理的两种形式来看，这类学生主体意识的缺失对两类逻辑推理实践制造的障碍表现如下：在演绎推理中，学生需要先根据已学的知识、理论、性质对目标问题进行“猜测式”的快速判断，然后依托知识结构快速找到相关知识、方法，从基础理论出发逐步演绎到与目标问题描述相符或能互为论证的状态。对于缺乏主体意识的学生来说，演绎过程会因缺乏前期“猜测”而无法启动，或因日常学习中缺乏关联思考的习惯而导致“演绎”无法推进;在归纳推理中，学生需要回顾以往学习和实践中遇到的同类问题，将其与目标问题进行对比，总结其中的共同点、差异，再尝试以典型的解题范式来分析和解决问题，对于缺乏主体意识的学生来说，归纳过程会因学生缺乏关联、对比的意识而无法推进。

由此来看，学生在尝试理解知识、解决问题的过程中，需要主动做出猜想和判断，或主动回顾与总结，这一过程本身能够锻炼学生的演绎推理和归纳推理能力。但目前部分高中生缺乏主体意识，更习惯于运用习惯性思维去寻找题目中的常见要素，或缺少总结解题规律的意识，这种主体意识缺失的问题导致学生缺少相关实践经验，也对逻辑推理缺乏认识，日常学习和训练对逻辑推理的应用偏少。对此，教师应先向学生揭示逻辑推理的内涵，然后再制订明确的训练计划，逐步强化学生自主应用逻辑推理方法的意识。

（二）数学探究深度不足

高中阶段数学学习内容更为复杂，所需的逻辑推理能力更高，简单演绎和归纳推理很难有效推动学生能力发展，教师需要设计更具深度的探究训练问题，使学生逐步适应本学段数学学习、应用中的逻辑推理节奏，提高学生主动挑战复杂问题的兴趣。在深度探究训练中，学生在挖掘问题条件（尤其是隐含条件）、分析条件关系并整理重要论据、演绎和推理“猜测”的结论时需要应用到逻辑推理方法，这种频繁且高强度的训练更有助于提高学生演绎推理的能力。虽然深度探究学习更有利于培养学生的逻辑推理能力，但这类教学活动通常推进效率不理想、课堂互动不足、课堂氛围不佳，深度探究学习活动更适合在阶段性复习、重难点知识教学中使用，且应用效果高度依赖教师的经验及能力，部分教师为追求课堂教学效率并不会频繁安排这类教学活动。

实际教学中教师通常需要面临学生数学成绩、学习能力差异的问题，许多教师会习惯性地下调预设问题的难度，或将推理过程进行拆分，致使所设计的探究问题深度不足，不能很好地培养学生逻辑推理能力。例如，人教版新教材在几何与代数主体章节内安排了复数内容，这一部分内容在知识结构中有承上启下的作用，实际应用中需要将复数视作多项式来处理运算问题（比如将复数视为的一次二项式），教师可以在一元多次方程中融入求复数解的应用，将多种知识和应用贯穿起来，训练学生的抽象和逻辑推理能力;但有部分教师认为班级中少数学生基础不足，对此类问题进行拆分，将原本条件相对模糊的问题（比如求=1的三个复数解及其在坐标系图像上的坐标）拆分为条件明确的简单问题（比如分为求=1的实数解;练习次复系数多项式的分解方法，求一元三次方程的复数），表面上两种问题设计都能达成加强复数概念认知、强化复数应用的效果，但后一种拆分问题降低了推理难度，对学生逻辑推理素养的培养效果并不理想。

（三）教学导入及系统化讲解设计不合理

逻辑推理素养的训练需要以针对特定问题的探究为前提，基于问题的导入教学可以将早期的“抽象化逻辑推理训练”转为“直观的数学问题分析”。因此，科学的导入教学能够激发学生兴趣，并降低训练难度。以导数的几何意义认知教学为例，这部分知识需要应用逻辑推理素养，教师可以对导数概念认知过程进行拆分，设计成多个具备逻辑推理素养培养功能的导入式探究过程：将平均速度与平均变化率对比，使学生在对比过程中认识到变化率是一种“融合性”的特殊矢量;在此基础上进一步去探究某个时间点上的瞬时速度和瞬时变化率，这样学生能够从根本上理解导数所要描述的变化。这种逐步推进的导入和探究过程能够让学生有效地总结经验、发现新旧知识的差异，本质上是应用归纳推理来学习新知识，这一过程也能培养学生的归纳推理能力。但一部分教师不善于设计导入教学，比如，在瞬时速度与瞬时变化率差异的探究中，直接导入导数概念后就开始分析和讲解导数公式，不仅会使学生遭遇困难，还会让学生失去训练逻辑推理能力的机会。

探究后的讲解与探究前的导入有着类似作用（只是作用流程相反），教师在探究后对学生所学知识进行深入讲解，尤其是对推理过程进行解析，能够为学生提供参考，使其发现自己在逻辑推理中的错误，提高其推理能力。比如导入几何意义教学后，教师可以对认知导数概念时应当如何“从理解平均变化率过渡到理解瞬时变化率”，抓住其中“数值逼近”“几何直观感受”“解析式抽象”几个关键点和过程，让学生分别运用表格统计、图像观察的方式重新检验推理过程，帮助学生查找自身问题。但部分教师在教学讲解时会略过对逻辑推理过程的解析，没有利用讲解来纠正学生逻辑推理实践中的错误方法、习惯，不利于学生逻辑推理素养的快速发展。从实践角度来看，当前许多青年教师更注重教学导入，反而对课堂中后段的讲解不够重视，最突出的问题是以要点总结、重复解析替代了补充讲解，只是重复强调重点知识，一方面对学生认知错误的剖析不够深入，不能很好地解决学生思维障碍，另一方面对逻辑思维过程的梳理不够精细，难以巩固学生的逻辑推理经验。

三、“双新”背景下高中数学逻辑推理素养发展的教学策略

（一）构建贴近现实的探究环境

构建贴近现实的探究环境能够有效调动学生思维，使学生更快速地回顾经验并进行归纳推理等实践。“双新”背景下的新高考考题设计也越发贴近生活，教师要把握高考题目设计的变化趋势，在设计教学活动、训练内容时也应主动构建贴近现实的探究环境。具体环境构建应有两类导向：

第一，以降低逻辑推理门槛为导向。即选择与学生生活、学习、实践关系密切的主题来设计探究问题，使学生能够快速回顾经验，从而进行猜测、假设和推理。例如，指数函数在高中学生日常生活中并不常见，教师不能随意选择“某类物体数量成倍增多”这种缺乏现实参考的情况作为情境，而要结合学生特点，设计诸如“生物课中所学的细胞分裂次数与最终细胞数”“学生接触较多的游戏物品2合1合成模式下用i阶物品合成1个j阶物品时所需的i阶物品的数量”等问题，这种问题学生更为熟悉，在此基础上再来讨论自变量、因变量、常数中是否总能以两个条件求取另外一个条件，锻炼学生推理能力的同时也提高其对指数函数内涵的认知。具体教学应用中应注意班级总体学情，只需对学困生开展针对性调整，对于全班学生已经普遍具备足够认知能力和生活化应用经验的情况下，教师需要适当转换情境创设方案，从生活应用领域转向其他自然学科应用方向。

第二，以生活或数学实践为导向。即遵循“双新”背景下的数学教育要求，培养学生在现实中应用逻辑推理解决问题的意识和能力。这类教学应选择学生感兴趣的领域，或是学生认为有应用价值的领域，以此作为问题设计的基本环境或背景。例如，在函数的概念教学中，教师可以提前设计“多名学生课外花费的学习时间与成绩关系”“多名学生课外花费的游戏时间与成绩关系”“多名学生课外单次游戏时间与游戏成果关系”三类情境。这种问题先引入了学生感兴趣的背景，然后对三类背景剔除同样的三个层次进阶问题，即“投入時间与成绩的动态区间”“投入时间到达一定水平时的成绩变化”“如果运用集合和相关数学预言应当怎么构建投入时间（t）和成绩（p）的关系”“三类情境中共同的属性和相似的指标是什么”。通过四个进阶问题可以让学生逐步发现函数规律，运用归纳推理总结函数内涵，甚至还能让学生用数学方法来审视个人课外学习和游戏时间分配的问题，提高其自控意识。这类应用的关键不仅仅是通过生活化应用案例来降低逻辑推理难度，更重要的是培养学生的自觉推理习惯，使学生在生活实践、课外学习、其他学科学习的过程中自觉应用逻辑思维能力，加速其推理能力发展。

（二）设计更有深度的探究活动

几乎所有的数学探究都需要进行逻辑推理，但要有效提高学生逻辑推理素养，教师需要保证探究的问题具备一定深度。教师在设计探究问题时应当遵从以下两类原则，来确保探究问题具备足够深度：一是提供形式相近的问题，当学生采用习惯性方法分析并无法解决问题时可产生挑战感，进而激发学生探究和推理的动力与意识;二是以强化认知为导向设计多层次进阶问题，高层次的挑战性问题应具备引导学生反思的功能，激发学生探究欲望。比如，在直线的参数方式复习教学中，教师可以先设计基本的推理训练题，如设计例题“为椭圆形，直线与其相交，交点分别为A、B，直线上的1点为M（2，1），且M是线段AB终点，求直线的方程”，该问题本身是简单的形式对比（从椭圆方程归纳各参数计算方法），然后教师可结合深度探究的需求对题目进行调整，以增加探究深度，例如将“线段AB的中点为M”这一条件转换为数学符号化表达，即向量AM为向量MB的2倍，以此为基础提出如果例题1中的条件分别为椭圆和圆时计算方式、结果会有什么变化，前一类调整更可以让学生从图形向推理转向基于符号化关系的推理，后一类调整则可以引导学生总结和归纳合情推理的方法（例如初始题目条件为圆形时，学生推理可能会忽略某些条件等，通过这类问题让学生掌握合情推理的正确方式）。

此外，教师应尊重学生能力和水平差异，对于无法快速解决深度探究问题的学生，教师应当给予更多的引导，同时下调“让学生解决进阶”问题的要求。对于过度抽象的逻辑思维过程，教师也要在讲解过程中尽量做更加细致的解析，确保部分学困生真正理解高阶逻辑思维方式后，再通过类型化训练来强化其实践熟练度，最后再考虑在深度探究中尝试解决新的问题。从学生的长远发展来看，教师需要在不断尝试下探究学习深度，使学生总能遇到具有挑战性的问题，以此激发学生的挑战意识，在加深探究难度的同时保持难度曲线平缓，提高探究成功率。教师也应当转化评价思路，将正面评价集中在“提出更有效的分析思路”上，即对逻辑思维发展和应用成果进行肯定，使学生更积极地尝试推理，提高其推理能力的发展效率。

（三）优化教学导入与讲解方案

导入和讲解是所有数学理论课、习题课、复习课中都会出现的环节，这些环节都比较适合开展逻辑推理训练，教师需要充分利用这些教学过程在导入和讲解过程中强化学生逻辑推理意识及能力。

第一，在新知识导入教学中融入逻辑推理训练。重点是利用导入教学的基本条件，引导学生在归纳和总结旧知识的特点、对比新旧知识的过程中发现经验和规律，形成逻辑推理的习惯。比如，“双新”课程标准和课程教材中基本初等函数的内容比重和深度都有所增加，第1课时教学重点为回顾一次函数和二次函数的基本知识，教师可以从三个方面引导学生从旧知识中发现新的知识：一是回顾一次函数赋值变化过程与形成函数图像的逻辑，引导学生直接观察图像来猜想函数性质;二是回顾函数图像平移原理，在坐标系中尝试平移图像，反向推理这种调整中变量、参数的具体变化，加深对函数中变量、系数、常数等对图像的影响;三是回顾点坐标带入函数解析式中推出参数的方法，进而理解解析式和的值域等。在回顾旧知识、导入新知识的过程中，教师应刻意引导学生总结规律、大胆猜想和推理，使学生有效利用逻辑推理来发现新知识、理解新知识，这不但能够提高学生的成就感，也能强化其逻辑推理意识。

第二，在一般教学、复习课中围绕逻辑推理过程进行详细讲解。教师在一般的知识讲解和习题讲解中不仅要讲解具体的认知方法和解题思路，也要积极引导学生探索知识之间关联、拓展的关系，解释如何运用推理方法分析相应问题，对推理过程进行详细的分析，讓学生能够按照教师提供的相对更为严谨、规范的逻辑推理路径重新审视个人的应用过程[3]，从而发现并解决自身问题。比如，在应用待定系数法解决数列通项公式的训练中，已有问题“数列中，=-1，，求通项公式”，将转换为，但这一步处理的难点是如何做出在等式两侧添加常数3来构建公比为2的等比数列关系。教师要解释逆向推理的过程：对此类问题先假设为有规律的数列（否则设问不成立）;然后假设数列形式是等差数列或等比数列，并指出多数情况下本阶段数列通项计算都会应用待定系数法，结合待定系数法应用规律来尝试调整条件关系式;最后再代入已知条件（=-1）来计算最终通项公式（）。教师需要在讲解时解释如何提出假设、如何选择推理方法、如何验证假设的过程，从而帮助学生理顺逻辑推理过程，提高其逻辑推理能力。同时也可以鼓励学生交流和分享，让学生在交流过程中了解新的推理思路，打开学生的个人视野，学生在分享的过程中也能回顾自己的推理过程，在这一过程中进一步理顺思路、矫正错误，这有助于加强学生对逻辑推理的认知。在课堂时间相对充裕时，教师也可以参与学生交流，帮助学生快速总结不同推理思路，指出各类思路的特点和适用性，进一步提高学生对逻辑推理方法的认识。

结束语

总体而言，“双新”背景下高中数学逻辑推理素养发展的要求更高，但部分学生缺乏探究意识，而教师在探究活动设计、导入教学和教学讲解等方面也存在问题，这限制了学生逻辑推理素养的发展。教师应重视学生逻辑推理素养发展，将其设为常态化教育任务，通过构建生活情境、开展深度探究、在导入和讲解中渗透等方式来提高学生逻辑推理素养发展质量。

参考文献

[1]崔志翔，杨作东.义务教育阶段一个数学核心素养的评价框架[J].数学教育学报，2021，30（5）：47-52.

[2]徐祥运，唐国尧.机器学习的哲学认识论：认识主体、认识深化与逻辑推理[J].科学技术哲学研究，2018，35（3）：95-99.

[3]周赛龙，储炳南.逻辑推理“落地”数学素养“开花”：一次基于“问题”为导向的研究性学习案例[J].数学通报，2021，60（10）：43-46.