菜园面积的奥秘

刘密贵

为了防止家禽破坏蔬菜，某农场打算建一个长方形的菜园。如图1，为了节约材料，菜园的一边靠着原有的一面墙（不超过这面墙），墙长为15m，另三边用篱笆围成。

问题一：若使用总长度为24m的篱笆，能建成面积为70m2、80m2的菜园吗？如果能，菜园的长和宽分别是多少？如果不能，请说明理由。

【思路分析】如图2，设AB长为xm，则BC=（24-2x）m，菜园的面积为x（24-2x）m2，由此可以得到关于x的一元二次方程。

解：如图2，设AB的长为xm，则BC的长为（24-2x）m。

结合题意，得0<24-2x≤15。

解得[92]≤x<12。

假设x（24-2x）=70。……①

解得x1=5，x2=7。

当x=5时，BC=24-10=14<15，满足题意;

当x=7时，BC=24-14=10<15，满足题意。

假设x（24-2x）=80。……②

原方程没有实数根。

答：菜园的面积可以是70m2，此时菜园的长和宽分别是14m、5m或10m、7m。

菜园的面积不可能是80m2。

【反思发现】为什么菜园的面积可以是70m2，不能是80m2？即为什么方程①有两个不相等的实数根，而方程②没有实数根？一定跟面积有关。这说明菜园的面积是有最大值的，70没有达到最大值，而80超过了最大值。因此，我们很有必要探索以下的问题。

问题二：若使用总长度为24m的篱笆，所建成菜园的面积最大是多少？

【思路分析】这似乎超出了一元二次方程这个工具的作用，因为现在未知数已经不只是边长，还有面积。怎么办呢？

如果没有思路，同学们大可使用穷举的办法进行猜测，不过思路其实就藏在问题一中。用公式法审视方程①②，有无实数根的关键在于根的判别式，面积S的不同使得方程①的判别式为正，方程②的判别式为负，那么当判别式为0时，S是否就是最大值呢？

解：设AB的长为xm，菜园的面积为Sm2。

根据题意，得x（24-2x）=S。……③

整理，得2x2-24x+S=0。

根的判别式=242-8S=8（72-S），

当S<72时，方程有两个不相等的实数根;

当S=72时，方程有两个相等的实数根;

当S>72时，方程没有实数根。

即S的最大值为72。

此时，AB=6，BC=12<15，符合题意。

答：所建成菜园的面积最大为72m2。

【反思发现】一方面，方程③实际上是一个二元二次方程，但把S看作常数后有助于我们一以贯之地用一元二次方程的知识解决问题。“看元不是元”是求解成功的重要原因。

另一方面，为什么此时菜园的面积最大？你注意到AB=[12]BC了吗？我们知道，“在周长为定值的长方形中，正方形的面积最大”。如图3，将AB、BC、CD沿着MN对折，得到的图形刚好就是一个周长为定值2×24=48m的正方形，最大之谜豁然而通！

问题三：若使用总长度为30m的篱笆，所建成菜园的面积最大是多少？

【思路分析】同理可知，30的一半恰好不超過MN的长度，此时当BC=15，AB=[152]时，菜园的面积最大，最大面积为[2252]m2。

【反思发现】如果篱笆的长度超过30m呢？

问题四：若使用总长度为36m的篱笆，所建成菜园的面积最大是多少？

【思路分析】显然，由于36的一半超过了MN的长度，所以上述规律已经不再适用。直观感受到，要想把篱笆用足，靠墙的一边其实可以占满整面墙，即令BC=AD=MN=15，此时AB+CD=36-15=21，

AB=[212]，菜园面积为[212]×15=[3152]m2。

以上是我们的猜测，这个结果是否就是最大面积呢？不妨利用问题二的经验进行探索和验证。

解：设AB的长为xm，菜园的面积为Sm2，则BC的长为（36-2x）m。

结合题意，得0<36-2x≤15。

解得[212]≤x<18。

根据题意，得x（36-2x）=S。

整理，得2x2-36x+S=0。

根的判别式=362-8S=8（162-S），

当S=162时，方程有两个相等的实数根x1=x2=9，与[212]≤x<18矛盾，不符合题意。

【反思发现】为什么问题二中的方法不奏效了？因为问题二中方程的解满足BC<15，而本问题已经不满足了。

怎么办？

转变思路：既然知道了x的范围，可否推出S的范围？

需要把含x的项都集中起来，用配方法！

S=x（36-2x）=-2（x-9）2+162。

当[212]≤x<18时，[32]≤x-9<9，

∴[94]≤（x-9）2<81。

∴-162<-2（x-9）2≤[-92]。

∴0<-2（x-9）2+162≤[3152]，

即0可见，问题在变化，解题的方法也要随之变化。

在此基础上，你能回答下面的问题了吗？

问题五：若使用总长度为am的篱笆，所建成菜园的面积最大是多少？（用含a的式子表示。）

（作者单位：南京师范大学附属中学树人学校）