均值平方差法解一元二次方程

三石

一元二次方程是古人在数学探索中的重要成就之一，其历史可以追溯到遥远的古巴比伦时期。在超过 4000 年的历史中，不少著名数学家都“重新发现”了其求解方法。

大家都知道，配方法是解一元二次方程的基本方法，在此基础上拓展延伸，结合一元二次方程根与系数的关系，我们发现一种新的方法——均值平方差法。这种方法在计算上是轻量级的，解题原理的理解也是顺应自然的，会让求解过程变得不再困难。

这个“均值平方差法”的解题原理及过程如下：

对于x2+bx+c=0，将等式的左边进行因式分解，可得x2+bx+c=（x-m）·（x-n），可得方程的根为x1=m，x2=n，即x2+bx+c=x2-（m+n）x+mn，所以m+n=-b，mn=c，那么可以确定m、n的平均数为[-b2]。不妨设m=[-b2]+t，n=[-b2]-t。再根据一元二次方程根与系数的关系，可知x1·x2=mn=c，所以（[-b2]+t）·（[-b2]-t）=c，即（[-b2]）2-t2=c，可求出t的值。最后，直接代入t值求得该方程的两个根m、n。

举例如下：解一元二次方程x2-2x-4=0。由于方程的两根之和为2，积为-4，所以可得[-b2]=1。设方程的两个根为1±p，而12-p2=-4，解得p=±[5]，所以原方程的根为x1=1+[5]，x2=1-[5]。

这个方法对于方程的无理数根和虚数根都适用，是华裔数学家罗博深在2019年发现的。他的研究领域包含离散系统、概率论和计算机科学交叉领域等方向，他还是免费个性化学习平台expii.com的创始人。

感兴趣的同学可以尝试运用这个方法解下列方程：

①x2-2[3]x-4=0;  ②3x2-[11]x+[12]=0。

（作者單位：江苏省南京市鼓楼实验中学）