邂逅韦达定理

万广磊

法国数学家韦达（F. Vieta，1540—1603）第一次有意识地使用系统的代数字母与符号，以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量，推进了方程论的发展，使代数成为一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛，被称为“代数符号之父”。

在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数之间存在的特殊关系，也就是我们学习的“韦达定理”。有趣的是，韦达在16世纪就发现了这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证。

下面我们用两种方法证明。

证法一：

∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1、x2，

∴当b2-4ac≥0时，x1=[-b+b2-4ac2a]，x2=[-b-b2-4ac2a]。

x1+x2=[-b+b2-4ac2a][+-b-b2-4ac2a]=[-2b+b2-4ac-b2-4ac2a]=[-2b2a]=[-ba]，

x1·x2=[-b+b2-4ac2a]·[-b-b2-4ac2a]=[-b2-b2-4ac24a2]=[b2-b2-4ac4a2]=[4ac4a2]=[ca]。

证法二：

关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0）有两个实数根分别为x1、x2，

将等式的左边进行因式分解，得

ax2+bx+c=a（x-x1）·（x-x2）。

进一步化简等式右边，得

ax2+bx+c=ax2-a（x1+x2）x+ax1·x2。

对比等式两边，可得

-a（x1+x2）=b，ax1·x2=c。

∴x1+x2=[-ba]，x1·x2=[ca]。

同学们，你还有其他的证明方法嗎？请大胆挑战一下，写下来。

（作者单位：江苏省南京市鼓楼实验中学）