结构确定属性方法反映本质

杨春霞

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），这是一个常态结构，也是对现实问题刻画的一个有效模型。在学习时，厘清这个模型结构的特征以及与这个结构关联的其他结构形式，有利于较为快捷地在实际问题应用中建立模型，转化为数学问题来解决。

一、关注一般式结构，抓住根与系数

我们知道，对于一个一元二次方程而言，其一般式结构ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）中的系数确定，就意味着其对应的根就确定。因此，确定了系数，实际上就是确定了一元二次方程的结构，结构确定，就意味着其根的情况以及一元二次方程的根与系数的关系也确定。一元二次方程的根的情况可以借助根的判别式b2-4ac来判断，而根与系数的关系是x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]。这里，我们可以看到，无论是根的判别式还是两根之和以及两根之积，均可以用一元二次方程一般式的系数来表示。因此，应用根的判别式或者根与系数关系的前提就是要将一元二次方程先转化为一般式结构。

例1 （1）（2022·安徽）若一元二次方程2x2-4x+m=0有两个相等的实数根，则m= _______ 。

（2）（2022·江苏扬州）请填写一个常数，使得关于x的方程x2-2x+_______=0有两个不相等的实数根。

【解析】例1中的两道题是基于确定的结构与根的情况之间的关系来考查的，这里的确定是指结构确定，即b2-4ac>0——方程有两个不相等的实数根，b2-4ac=0——方程有两个相等的实数根，b2-4ac<0——方程没有实数根。故解决本题可将思路倒过来，从根的具体情况得到对应的判别式的结构与0的关系，从而建立不等式确定判别式中的字母值或者字母的取值范围。其中（1）的答案是2，（2）的答案是小于1的任意实数，比如0。

例2 （2022·四川泸州）已知关于x的方程x2-（2m-1）x+m2=0的两实数根为x1、x2，若（x1+1）（x2+1）=3，则m的值为（）。

A.-3 B.-1

C.-3或1D.-1或3

【解析】此题是典型的对根与系数关系进行考查的问题，需要同学们在关注两根之和与两根之积的基础上对式子（x1+1）（x2+1）的结构进行变形，形成熟悉的和与积的结构形式，从而得到x1x2+x1+x2+1=3，即m2+2m-1+1=3，解得m1=1，m2=-3。做到这里，方程有两实数根，我们要注意，所得到的m值是否都满足要求呢？这就需要进一步借助根的判别式进行验证。因为（2m-1）2-4m2≥0，即m≤[14]，所以m1=1不合题意，要舍去，则符合要求的m值为-3。故选A。

二、关注配方式结构，凸显配方过程

在一元二次方程的学习中，配方式结构（x+a）2=k是一元二次方程的一个重要的结构形式，也是求最值的重要工具，可以为后面确定二次函数顶点等知识奠定基础，有较为广泛的应用。要形成（x+a）2=k这样的结构，则要重点关注配方的过程，因此多年来的中考试题主要聚焦考查如何配方，配方后的完全平方式的结构是否正确，以及依此判断代数式最值等方面。

例3 （2022·甘肃武威）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（）。

A.（x+1）2=3 B.（x+1）2=6

C.（x-1）2=3 D.（x-1）2=6

【解析】本题是直接考查配方法，要求同学们在理解配方法的基础上得到配方后的形式。这里我们可以直接在方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果。故选C。

例4 （2022·山东聊城）用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0时，将它化为（x+a）2=b的形式，则a+b的值为（）。

A.[103]B.[73]C.2D.[43]

【解析】将常数项移到方程的右边，二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式后，继而得出答案。

∵3x2+6x-1=0，

∴3x2+6x=1，x2+2x=[13]，

则x2+2x+1=[13]+1，

即（x+1）2=[43]。

∴a=1，b=[43]。

∴a+b=[73]。故选B。

三、关注乘积式结构，活用因式分解

一元二次方程的解法中常用的还有因式分解法，即将一般式结构因式分解成（x+a）（x+b）=0这一乘积式结构，一旦形成这样的结构就能很快得到方程的解。当然，利用乘积式结构解方程，我们一定要注意，等式右边要为0，这样才能依据“A×B=0，则A=0或B=0”解方程。

例5 （2022·贵州贵阳）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法。他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程。

①x2+2x-1=0;②x2-3x=0;③x2-4x=4;④x2-4=0。

【解析】本题要关注方程结构中系數的特点来选择配方法、公式法或因式分解法。

①利用公式法：

x2+2x-1=0，

b2-4ac=22-4×1×（-1）=4+4=8，

∴x=-1±[2]。

②利用因式分解法：

x2-3x=0，

∴x（x-3）=0。

∴x1=0，x2=3。

③利用配方法：

x2-4x=4，

两边都加上4，得

x2-4x+4=8。

∴（x-2）2=8。

∴x-2=±2[2]。

∴x1=2+2[2]，x2=2-2[2]。

④利用因式分解法：

x2-4=0，

∴（x+2）（x-2）=0。

∴x1=-2，x2=2。

例6 （2022·黑龙江齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2=（3x+2）2。

【解析】本题方法较多，可以直接开平方，也可以借助乘积式结构，通过因式分解来求解。由（2x+3）2=（3x+2）2得到（2x+3）2-（3x+2）2=0，继而得到[（2x+3）+（3x+2）]·[（2x+3）-（3x+2）]=0，形成2x+3+3x+2=0或2x+3-3x-2=0，解得x1=1，x2=-1。

关注一元二次方程的模型结构，厘清结构中的特点和结构之间的关系是最为关键的一环。结构确定方程的属性，而解决问题的方法则需要我们在不断的积累和反思中获得。

（作者单位：江苏省南京市第二十九中学初中部）