题新知依据 型多法可循

陈奕含

一元二次方程是初中阶段所学的最后一类方程。其独有的二次结构特征、根的判别式、根与系数的关系等内容，让它成为中考命题的热点。下面就选取近几年中考中出现的新题型加以分析，帮助同学们抓住题目的本质特征，以不变应万变。

一、正解错题型

例1 （2021·贵州遵义）在解一元二次方程x2+px+q=0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是-3、1。小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5、-4。则原来的方程是（）。

A.x2+2x-3=0

B.x2+2x-20=0

C.x2-2x-20=0

D.x2-2x-3=0

【分析】题中两人都分别看错了方程中的一部分，得到了两个根。结合根与系数的关系，可以得到没看错的正确的系数，问题便迎刃而解。

解：因为小红看错了q，但没看错p，所以得到两根之和=（-3）+1=-2=-p。

因为小明看错了p，但没看错q，所以得到两根之积=5×（-4） =-20=q。

解得p=2，q=-20。

故选B。

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 （a、b、c为常数，a≠0）的两根时，x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]。抓住题目中的不变量——没看错的系数，即可转化为常规问题进行求解。

二、降次转化型

例2 （2022·四川内江）已知x1、x2是关于x的方程x2-2x+k-1=0的两实数根，且[x2x1]+[x1x2]=x12+2x2-1，则k的值为。

【分析】根据x1、x2是一元二次方程x2-2x+k-1=0的两实数根，可知x1+x2=2，x1x2=k-1。因为x1是方程的根，所以x12-2x1+k-1=0，然后就可以用只含有x1的一次项的代数式表示x12。把[x2x1][+x1x2]=x12+2x2-1进行变形：左边通分，右边降次，再整体代入x1+x2、x1x2即可得解。最后，我们不要忘记检验求出的k值是否符合题意。

【解答】∵x1、x2是关于x的方程x2-2x+k-1=0的两实数根，

∴x1+x2=2，x1x2=k-1，

x12-2x1+k-1=0。

∴x12=2x1-k+1。

∵[x2x1][+x1x2]=x12+2x2-1，

∴[（x1+x2）2-2x1x2x1x2]=2（x1+x2）-k。

∴[22-2（k-1）k-1]=4-k。

解得k=2或k=5。

当k=2时，关于x的方程为x2-2x+1=0，b2-4ac=0，符合题意;

当k=5时，关于x的方程为x2-2x+4=0，b2-4ac=-12<0，方程无实数解，不符合题意。

∴k=2。

【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，从而得出x1+x2=2，x1x2=k-1。由于已知等式右边包含单独一个根的平方形式，可根据方程解的定义将x12降次，转化成x1+x2的形式。再用整体代入法得到关于k的方程，进而完成求解。最后，我们一定要注意，只要是求一元二次方程中未知系数的值，一定要将该系数代入原方程检验是否有实数根。

三、分类讨论型

例3 （2020·山东菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2-4x+k=0的两个根，则k的值为（）。

A.3B.4C.3或4 D.7

【分析】已知等腰三角形的一边长是3，可以作为等腰三角形的腰，也可以作为底边，需要分类讨论。当3为腰长时，将x=3代入原一元二次方程得k的值;当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可知原方程将拥有两个相等的实数根，即判别式b2-4ac=0，从而得出k值。两种情况得到的k值都必须带回原方程求出方程的解，并判断三边是否能组成三角形。

解：（1） 当3为腰长时，将x=3代入x2-4x+k=0，

得32-4×3+k=0，解得k=3。

当k=3时，原方程为x2-4x+3=0。

解得x1=1，x2=3。

此时三边长为1、3、3，能构成三角形，符合题意。

（2） 当3为底边长时，关于x的方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根，

∴b2-4ac=（-4）2-4×1×k=0，

解得k=4。

当k=4时，原方程为x2-4x+4=0。

解得x1=x2=2。

此时三边长为2、2、3，能构成三角形，符合题意。

综上所述，k的值为3或4。

故选C。

【点评】本题通过等腰三角形的性质为切入口进行分类讨论，主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解。需要注意，與三角形三边长相关的问题，最后一定要用三角形三边关系来验证是否能构成三角形。

四、数形结合型

例4 （2019·宁夏）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x-14=0即x（x+5）=14为例加以说明。数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如图1）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x=2。那么在图2的三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2-4x-12=0的正确构图是 _______ 。（只填序号）

【分析】仿照题中的案例，x2-4x-12=0要正确构图，得先变形为x（x-4）=12。所以构造的大正方形的边长为x+x-4，外侧的4个矩形长、宽分别是x和x-4，中间的小正方形的边长是4。通过大正方形面积的两种表示方式得出x的值，即可得解。

解：∵x2-4x-12=0，即x（x-4）=12，

∴构造如图2②中大正方形的面积是（x+x-4）2，它中间的小正方形边长为4。

又∵大正方形的面积也等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12+42，

∴有（x+x-4）2=4×12+42。

解得x=6。

答案为②。

【点评】本题通过数形结合的方式，考查了一元二次方程的应用。运用类比的方法，构造出合适的大正方形是解题的关键。

（作者单位：江苏省南京市第二十九中学初中部）