峰回路“转”，千变万“化”

濮磊

一元二次方程是继一元一次方程、二（三）元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程后，又一个常见的方程类型。如果说二（三）元一次方程组可以看成是一元一次方程在“元”上的推广，那么一元二次方程则是一元一次方程在“次”上的推广。解一元二次方程的基本策略是降次，即通过配方、因式分解等，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

随手翻开教材，摘抄一些熟悉的一元二次方程如下：

（1）x2=3;（2）（x+1）2=3;（3）x2+2x-2=0;（4）2x2-3x-4=0……

那么，当我们把它们放在一起的时候，你能看出它们之间的联系吗？原来，把方程（2）中的x+1看成x就变成了方程（1）;方程（3）虽然是一般形式，但移项、配方后，竟然就是方程（2）;方程（4）看起来系数不为1，但我们运用等式的性质，将方程两边同时除以2，然后再移项、配方，总可以变成方程（3）的形式……

大家一定感受到了这一点：方程（4）可以依次转化成（3）（2）（1）的形式，也就是说，会解方程（1），就等于会了“所有”，因为我们可以转化。

而我们又是怎样看方程（1）的呢？可以根据平方根的定义，直接开平方后转化为一次方程;也可以移项，得x2-3=0，于是（x+[3]）·（x-[3]）=0，这样一元二次方程也转化成两个一元一次方程，即x+[3]=0、x-[3]=0，方程的解显而易见。原来又是转化。

畅想一下，你能借助转化思想解决哪些更复杂的方程呢？

例1 解方程：（1）x3-9x=0;（2）（x2-x）2-8（x2-x）+12=0。

（1）是一个三次方程，没见过吧？不过，一定难不倒聪明的你。想到“转化”，可以设法降次。对于方程（2），如果展开，那该变成4次了。能不能不展开？观察一下方程的特点，能借助解二次方程的方法来解决吗？

解：（1）x3-9x=0。

x（x2-9）=0。

x（x+3）（x-3）=0。

x=0或x+3=0或x-3=0。

解得x1=0，x2=-3，x3=3。

（2）令m=x2-x，则原方程可写为m2-8m+12=0。

所以（m-2）（m-6）=0，解得m1=2，m2=6。

當m1=2时，x2-x=2，所以（x-2）（x+1）=0，解得x1=2，x2=-1;

当m2=6时，x2-x=6，所以（x-3）（x+2）=0，解得x3=3，x4=-2。

综上，方程的解为

x1=2，x2=-1，x3=3，x4=-2。

原来，“三次”也可以通过因式分解转化到“一次”。把（2）中的x2-x看成一个整体，最大的妙处在于降低了原方程的次数，这是很重要的转化方法。解决了上述问题，请试试解分式方程（[xx-1]）2-5（[xx-1]）-6=0吧。你一定能行！

转化要注意一些什么呢？

例2 解方程：[2x+3]=x。

我们会解上述的一些高次方程，但是遇到根号就要格外小心。根号下含有未知数的方程叫作无理方程。相信大家一看见它的样子，就联想到可以将方程两边平方转化为2x+3=x2的形式。但是，这又会带来什么“隐患”呢？请大家小心“操作”，认真“思考”哦。

解：两边平方，得2x+3=x2。

所以（x-3）（x+1）=0，解得x1=3，x2=-1。

检验：x=-1是增根，舍去。

所以x=3是原方程得解。

原来，无理方程可以通过平方等方法转化成我们熟悉的有理方程。但是，要注意增根的产生。例如上面的平方，可不是同解变换。细心的同学们一定发现了，例1最后的练习，我们如果把[xx-1]当成一个整体，会出现分式方程，同样需要检验。

最后，再让我们换个视角看问题。

例3 解方程：x3-2[2]x2+2x-[2]+1=0。

这是一个高次方程，我们未学过其解法，难以求解。如果我们换一个角度（“已知”和“未知”互换），即将[2]看作“未知数”，而将x看成“已知数”，则原方程可整理成x（[2]）2-（2x2+1）[2]+（x3+1）=0。

b2-4ac=（2x2+1）2-4x（x3+1）=4x2-4x+1=（2x-1）2。

解得[2]=x+1或[2]=[x2-x+1x]。

故方程可转化为一个一元一次方程[2]=x+1和一个一元二次方程x2-x+1=[2]x，从而不难求得这个高次方程的解。

理解了上述问题，请试试解方程：

9x-3x2-3+[14]x3+[12]x=0。

解：由9x-3x2-3[+14]x3[+12]x=0，得

x·32-（x2+1）·3+（[14]x3[+12]x）=0。

b2-4ac=（x2+1）2-4x（[14]x3[+12]x）=1>0，

解得3=[12]x或3=[x2+22x]。

当3=[12]x时，解得x=6。

当3=[x2+22x]时，解得x1=3-[7]，x2=3+[7]。

经检验，x1=3-[7]，x2=3+[7]是方程的解。

综上所述，方程的解为

x1=3-[7]，x2=3+[7]，x3=6。

转化在数学解题中无处不在，说到底，转化就是生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗，同学们试着感悟转化的奥妙吧。

（作者单位：江苏省南京市第五十中学）