“根与系数”可千变，牢记“关系”破万象

2022-05-30曹丹

初中生世界·九年级 2022年9期

曹丹

一元二次方程根与系数的关系又称韦达定理，这是因为它是由法国数学家韦达发现的。韦达定理可以与代数、几何中的许多知识结合，生成丰富多彩的数学问题，也是中考中常见的考点。

具体内容如下：如果方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两个实数根是x1、x2，那么x1+x2=[-ba]，x1·x2=[ca]。我们应注意，韦达定理只适用于一元二次方程，使用时要先把方程化为一般式，并注意隐含条件a≠0。同时，使用此定理的前提是方程有实数根，也就是要满足根的判别式b2-4ac≥0这一条件。

苏科版数学教材九年级上册第23页习题第3题：

已知关于x的方程x2+bx+c=0的两根分别是[2]+1、[2]-1，求b、c的值。

本题已知方程两根，求系数。固然可以代入得二元一次方程组从而求解，但两根是无理数，运算将十分繁琐。而运用根与系数的关系解题即可迅速得到（[2]+1）+（[2]-1）=-b，（[2]+1）×（[2]-1）=c，即b=[-22]，c=1。此方法大大降低了运算量，化繁为简。中考中一元二次方程根与系数千变万化，但我们只要牢记根与系数的关系，那么，在遇到涉及求两根之和、两根之积，或者利用两根之和、两根之积求方程中参数或求某一个代数式的值等问题时，便可化难为易。

变式1 （2022·四川宜宾）已知m、n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）。

A.0B.-10C.3D.10

【解析】因为m、n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根，

所以m2+2m-5=0，即m2+2m=5。

由韦达定理，得mn=-5，

所以m2+mn+2m=0。

【小结】本题主要考查了根与系数的关系和代数式求值。方程确定时可以解出两根，再代入求值，但求解繁琐。快速解答本题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，同时要仔细观察代数式m2+mn+2m与方程x2+2x-5=0之间的联系，要能够敏锐地察觉到m2+mn+2m中的m2+2m可通过将x=m代入方程来实现。

变式2 （2022·湖北仙桃）若关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-4m-1=0有两个实数根x1、x2，且（x1+2）（x2+2）-2x1·x2=17，则m=（）。

A.2或6 B.2或8 C.2D.6

【解析】因为一元二次方程x2-2mx+m2-4m-1=0有两个实数根x1、x2，

所以b2-4ac=（-2m）2-4（m2-4m-1）≥0，解得m≥[-14]，

且x1+x2=2m，x1·x2=m2-4m-1。

因为（x1+2）（x2+2）-2x1·x2=x1·x2+2（x1+x2）+4-2x1·x2=2（x1+x2）+4-x1·x2=17，

所以2×2m+4-（m2-4m-1）=17。

整理，得m2-8m+12=0。

因式分解，得（m-2）（m-6）=0，

解得m=2或m=6。

故選A。

【小结】此题考查了根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解本题的关键。同学们往往忽略隐含条件b2-4ac≥0。