看山不是山，看山还是山

徐峰

一、学习一元二次方程的必要性

方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。我们已经学习了一元一次方程、二元一次方程（组）、可化为一元一次方程的分式方程等知识，感受了方程模型的作用和价值，也积累了一些利用方程解决实际问题的经验。一元二次方程实际上是以前学过的方程知识的延续和深化。下面，我们通过具体例子来感受一下一元二次方程与之前学习的方程的联系及区别。

例1 如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面由栅栏围成。

（1）若栅栏总长度为19m，长比宽多4m，求围成的矩形面积。

（2）若围成的矩形长比宽多4m，面积为45m2，求栅栏总长度。

（3）若围成的矩形面积为45m2，栅栏总长度为19m，求长比宽多多少。

【分析】很显然，这三个问题围绕“栅栏总长度、矩形的面积及长与宽的关系”三者设置，典型的“知2求1”问题。对于问题（1），可以直接列出算式，得宽为（19-4）÷3=5，从而面积为5×（5+4）=45;还可以设AB=x，则BC=x+4，可列方程2x+（x+4）=19，解得x=5，再得出面积。从解决问题的过程来看，可以列算式解决，也可以用一元一次方程解决。这里再一次感受“能用一元一次方程解决的问题都可以用列算式的方法解決”，而用方程来解决问题显得更简洁明了，那是因为未知数参与了运算。

对于问题（2），设宽AB=x，则BC=x+4，可列方程x（x+4）=45。对于这个不熟悉的方程暂且可不解，但借助因式分解的知识，大多数同学可以得到x=5或x=-9（舍去）。

对于问题（3），设AB=x，接下来有两种方法解决。

方法1：由栅栏总长度为19，可表示出BC=19-2x，可得方程x（19-2x）=45。

方法2：由面积为45，可表示出BC=[45x]，可得方程2x[+45x]=19。

这两个方程暂且都不求解。

【点评】上述三个问题都是基于长与宽的关系、栅栏总长度、面积三者而设置，符合人们对实际问题的认知规律。三个问题的解决过程，都是利用前面学习的用方程解决问题的基本经验，即：

问题（1）列出的是一元一次方程，而问题（2）、问题（3）列出来的是一元二次方程或可化为一元二次方程的分式方程。虽然列出的方程不熟悉，但在解决问题过程中借鉴了已有的解决问题的经验，体现了数学知识与方法的一脉相承。

二、一元二次方程的解法

问题（2）和问题（3）中分别出现了一元二次方程x（x+4）=45和x（19-2x）=45，可分别将其化为一般式，得x2+4x-45=0和-2x2+19x-45=0，如何解这类方程呢？我们必须学习一元二次方程的4种主要解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），究竟选择哪种解法更合适呢？

①b=0时，宜用直接开平方法;②c=0时，宜用因式分解法，其本质是降次;③[ba]为偶数时，可选用配方法，也可用公式法;④公式法为通用方法，可解任何一元二次方程。我们可结合系数特征选用合适的解法，如x2+4x-45=0既可用配方法，也可用公式法，还可以用因式分解法。同学们可以自己先尝试用不同的解法来感受，再试一试-2x2+19x-45=0的不同解法。

三、根的判别式及根与系数的关系

由于一元二次方程的求根公式是用方程的系数a、b、c来表达的，即x1=[-b+b2-4ac2a]，x2=[-b-b2-4ac2a]，所以根与系数有天然的联系。

在探索含x1、x2的代数式与系数关系时，应该有无数种可能的情况，如x1+x2，2x1+x2，x1+2x2，x12+x2，x1+x22，x1x2，……那么为什么偏偏只研究x1+x2和x1x2呢？究其原因，是由于求根公式中x1、x2互为有理化因式，而两数和与两数积的形式，也是我们七年级学习乘法公式时频繁遇见的老面孔，即a+b、a-b、ab以及a2-b2的“知2求2”问题。

综上，在无数个含x1、x2的代数式中，x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]这两个式子不仅结果简洁明了，还兼有承上启下之功，是数学之美的一种体现。

当然，我们还可以借助方程的根的定义去理解根与系数的关系。

设方程ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的两根为x1、x2，则方程可化为a（x-x1）（x-x2）=0，即ax2-a（x1+x2）x+ax1x2=0。对比系数，得-a（x1+x2）=b，ax1x2=c，即x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]。特别地，当a=1时，x1+x2=-b，x1x2=c。

例2 关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根。

（1）求m的取值范围;

（2）若x1、x2是x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值。

【分析】（1）由判别式大于0，即可解决问题。

（2）由根与系数的关系及完全平方公式变形代入即可。

解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，

∴b2-4ac>0，即4-8m>0，

解得m<[12]。

故m的取值范围为m<[12]。

（2）由根与系数关系，得

x1+x2=-2，x1x2=2m。

∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4-4m=8，

∴m=-1。

四、一元二次方程的应用

数学学习是为解决实际问题服务的。从本章内容来看，也是基于这一目的展开的。我们经历了建立模型、学习概念、探究原理、知识应用这一完整的学习过程，这既是知识发生发展的过程，也是我们探究新知的一般思路。分析问题、解决问题的策略在学习一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程时已充分熟知了。因此，用一元二次方程解决实际问题，其本质还是用未知量参与运算，是用方程解决问题的又一特例而已。

在本章中，我们应充分感受到一元一次方程与一元二次方程的形成区别：一次方程为含未知数的一次项加一次项，可表达为A+B=C的形式;二次方程为含未知数的一次项乘一次项，可表达为A×B=C的形式。理解了这一点，本章中常见的平均增长率、每……每、利润、形积等问题的解决也就不难了。

（作者单位：江苏省南京市求真中学）