立足结构识概念掌握模型会应用

诸士金

现实生活中，许多问题中的数量关系可以抽象为方程或不等式。我们在学习一元二次方程之前已经学习了一元一次方程、二元一次方程（组）、三元一次方程组以及分式方程、不等式等知识。类比前面知识的学习，我们可以认识到，从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的解并解决实际问题是本章学习的主线。因此，在学习中，我们需要从方程的建立出发，识别方程的结构特征，并能结合这样的结构特征进行方程的同解变形来求解，再基于此形成解决实际问题的一般模型。在这个过程中，我们可以进一步认识数学三大思想，即抽象思想、推理思想和模型思想，也能进一步培养我们的推理能力、运算能力和建模能力，发展我们的应用意识。

一、关注一元二次方程的概念学习，学会搭建从数学外到数学内的桥梁

在一元二次方程概念的学习中，我们要紧密联系实际，借助丰富的实例来感受一元二次方程学习的必要性，展现一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。与前面学习的方程类似，我们需要从实际生活中理解数量的意义，并借助数量的意义建立数量关系，借助符号和字母表示出这些数量关系，形成具有同一未知量的二次关系。

例1 如何用方程描述下面情境中数量之间的关系？

（1）正方形桌面的面积是2m2。设该正方形桌面的边长是xm。

（2）如图1，矩形花园一面靠墙，另外三面所围栅栏的总长度是19m，花园的总面积是24m2。设花园靠墙部分的长度是xm。

（3）某校图书馆藏书在两年内从5万册增加到9.8万册。设图书馆的藏书平均每年的增长百分率是x。

（4）如图2，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子底端与墙的距离比梯子顶端与地面的距离多1m。设梯子底端与墙的距离是xm。

同学们可以通过这一组问题，理解这些问题中数量之间的意义，并建立方程：

（1）x2=2，

（2）x（[19-x2]）=24，

（3）5（1+x）2=9.8，

（4）x2+（x-1）2=25。

在建立的方程中，我们能感受到这些方程的结构共性——“二次”，进一步认识到这些“二次”的共性特征可以反映到ax2+bx+c=0（a≠0）这一结构上。这就是一元二次方程的一般形式，也搭建了实际问题中数量之间二次关系的桥梁。

这部分知识的学习，一方面需要同学们打牢整式概念的基础，要能够对不同结构的整式进行化简整理，准确分析出其本质;另一方面，从数学外到数学内的桥梁，不是从一元二次方程才开始的，更不会到此就结束，我们构建函数模型也需要这样从数学外看到数学内的眼光。

二、关注一元二次方程的解法学习，学会关联从数学内到数学内的算理

在学习一元二次方程的解法前，同学们已经学习了一元一次方程的解法，知道可以利用运算律、等式的基本性质，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形得到方程的解;对于三元一次方程组、二元一次方程组，我们可以通过消元等将三元一次方程组、二元一次方程组转化为一元一次方程，这里的算理就是“转化”思想。知识内部之间的关系让我们能够转新为故，也让我们能够采用从特殊到一般、从具体到抽象的方法来研究新的方程如何解决。

对于一元二次方程的解法学习，我们可以从x2=a、（x+m）2=n的结构来分析如何转化。在注意到“降次”是我们转化的目的之后，可归纳得到直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种方法，以及掌握这些方法之间的内在联系，通过适度的练习加深理解，寻求方程解法的优化。

例2 （1）如何解一元二次方程呢？请你写出几个一元二次方程，并尝试解一解。

（2）如何探索方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的解法呢？写出你的想法。

这里我们以例2的两个问题作为参考来探索一元二次方程解法的一般路径，明确解决问题的方法，积累解方程的活动经验。同学们可以类比前面方程解法的学习，从特殊形式入手进行思考，比如：如何解方程ax2+c=0（a≠0）呢？可以举具体的例子，如：x2-1=0，2x2-1=0，x2+1=0。通过这些例子归纳出将一元二次方程转化为一元一次方程的主要方法，即因式分解法和直接开平方法。利用这两种方法可以将ax2+c=0（a≠0）降次，转化为一元一次方程;在解决这组问题时还会发现方程无实数解的情形，进而讨论得到当[-ca]≥0时方程有两个实数解的一般结论。例2虽然能让我们感受到用直接开平方法和因式分解法来进行降次，但为了更好地帮助我们理解因式分解法可以降次得到一元一次方程，我们不妨再看下面的例3。

例3 （1）如何解方程ax2+bx=0（a≠0）？

（2）如何解方程x2-2x=0？

（3）如何解方程2x2+x=0？

我们借助类似例2这样的例子，发现在解方程的过程中，一些方程独特的结构特征可以利用因式分解进行降次。当然这里需要对结构变形，形成（x+a）（x+b）=0的形式。

在解法的探究学习中，立足方程的结构，关注方程根的情况与系数关系，根与系数的关系的研究看似是我们解方程中的一个“节外生枝”，其实是探寻解法中的必然研究。同时，也是为我们今后继续学习一元二次方程的应用以及二次函数做好准备。

三、关注一元二次方程的应用学习，学会建构从数学内到数学外的模型

用一元二次方程解决实际问题的学习是用方程解決实际问题的重点，也是难点。与用一元一次方程解决实际问题、用二元一次方程组解决实际问题等类似，我们要学会在掌握基本数量关系的基础上对复杂情境进行分析，梳理出其中的“二次”关系，得到对应的方程模型。在这一过程中，我们可以借助表格、线段示意图等工具找出问题中的已知量、未知量，分析其中数量之间的联系，体现“算两次”的思想，找到关键词并由此确定等量关系。我们要形成良好的思维习惯，培养直观分析题意的能力，对于实际问题要形成检验、解释合理性的意识，理解所得方程及其根的实际意义等。

总之，一元二次方程是初中重要的数学模型之一，有丰富的实际背景。在学习中，我们要通过丰富的情境来培养建立一元二次方程模型解决实际问题的能力;要体会数学与现实世界的联系，发展应用意识;要重视与之相关的知识联系，建立合理的逻辑关联，突出解方程的基本策略，在学习概念、解法和应用的过程中发展发现和提出问题、分析和解决问题的能力。

（作者单位：江苏省南京市鼓楼区教师发展中心）