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几何体外接球半径的几种求法

2022-05-30张宇

语数外学习·高中版上旬 2022年10期
关键词:球心三棱锥接球

张宇

几何体的外接球是指一个几何体的各个顶点都在一个球面上的球体.几何体外接球的半径问题在各类试题中经常出现,侧重于考查同学们的抽象思维能力、空间想象能力与运算能力,通常难度较大.下面,结合例题探讨一下求解几何体外接球半径的几种方法,

一、补形法

若问题中给出的几何体不规则,则可采用补形法,将空间几何体补成一个规则的空间几何体,如圆锥、正三棱柱、正三棱锥等,便可以根据新几何体的性质与特点,确定空间几何体的中心位置,即球心的位置,然后根据正余弦定理、勾股定理、两点间的距离公式来求得几何体外接球的半径.

若已知三个平面两两互相垂直,我们就可以运用补形法,将空间几何体补为一个规则的、熟悉的长方体,这样便可以根据长方体的对角线即为其外接球的直径,来建立关于半径的关系式,运用补形法解题较为简便,不仅能简化计算的过程,还能有效降低问题的难度,

二、定义法

球的半径是指到球心的距离都相等的点的集合,那么外接球的球心到几何体的所有顶点的距离都相等,故求几何体外接球半径,实质上就是要确定外接球球心的位置,即在空間中找到几何体上的每一个顶点的距离都相等的点,求出该距离,即可解题,

根据题意难以确定正三棱锥P-ABC外接球的球心位置,于是采用定义法,根据球的半径的定义,找到正三棱锥P-ABC上的部分顶点距离都相等的点的轨迹,再根据该点到三棱锥上其他点的距离都相等的关系,来建立数量关系式,就能顺利确定出该点的位置,并求出外接球的半径,

三、建系法

有时候,我们根据题意和几何体的图形难以确定球心的位置,此时就需要根据几何体的特点和性质建立空间直角坐标系,采用建系法来求解空间几何体外接球的半径.首先建立合适的空间直角坐标系,然后设出球心的坐标,并求出空间中各个点和线段的坐标,这样就可以顺利用向量表示出球心到几何体各个顶点的距离,建立相应的关系式,即可求出球心的坐标以及球的半径.

运用此种方法解题,关键在于建立合适的空间直角坐标系.一般地,要尽量使更多的点在同一个平面或一条直线上,这样可以有效地减少运算量.

总之,求几何体外接球的半径,关键在于要找到外接球的球心位置,同学们在解题时,可根据几何体的结构特征和已知的信息,采用补形法、定义法、建系法来求解,一般来说,补形法较为简单,定义法和建系法较为复杂,且解题过程中的运算量较大,但定义法的应用范围更广.

(作者单位:江苏省大港中学)

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