几何体外接球半径的几种求法

张宇

几何体的外接球是指一个几何体的各个顶点都在一个球面上的球体．几何体外接球的半径问题在各类试题中经常出现，侧重于考查同学们的抽象思维能力、空间想象能力与运算能力，通常难度较大．下面，结合例题探讨一下求解几何体外接球半径的几种方法，

一、补形法

若问题中给出的几何体不规则，则可采用补形法，将空间几何体补成一个规则的空间几何体，如圆锥、正三棱柱、正三棱锥等，便可以根据新几何体的性质与特点，确定空间几何体的中心位置，即球心的位置，然后根据正余弦定理、勾股定理、两点间的距离公式来求得几何体外接球的半径．

若已知三个平面两两互相垂直，我们就可以运用补形法，将空间几何体补为一个规则的、熟悉的长方体，这样便可以根据长方体的对角线即为其外接球的直径，来建立关于半径的关系式，运用补形法解题较为简便，不仅能简化计算的过程，还能有效降低问题的难度，

二、定义法

球的半径是指到球心的距离都相等的点的集合，那么外接球的球心到几何体的所有顶点的距离都相等，故求几何体外接球半径，实质上就是要确定外接球球心的位置，即在空間中找到几何体上的每一个顶点的距离都相等的点，求出该距离，即可解题，

根据题意难以确定正三棱锥P-ABC外接球的球心位置，于是采用定义法，根据球的半径的定义，找到正三棱锥P-ABC上的部分顶点距离都相等的点的轨迹，再根据该点到三棱锥上其他点的距离都相等的关系，来建立数量关系式，就能顺利确定出该点的位置，并求出外接球的半径，

三、建系法

有时候，我们根据题意和几何体的图形难以确定球心的位置，此时就需要根据几何体的特点和性质建立空间直角坐标系，采用建系法来求解空间几何体外接球的半径．首先建立合适的空间直角坐标系，然后设出球心的坐标，并求出空间中各个点和线段的坐标，这样就可以顺利用向量表示出球心到几何体各个顶点的距离，建立相应的关系式，即可求出球心的坐标以及球的半径．

运用此种方法解题，关键在于建立合适的空间直角坐标系．一般地，要尽量使更多的点在同一个平面或一条直线上，这样可以有效地减少运算量．

总之，求几何体外接球的半径，关键在于要找到外接球的球心位置，同学们在解题时，可根据几何体的结构特征和已知的信息，采用补形法、定义法、建系法来求解，一般来说，补形法较为简单，定义法和建系法较为复杂，且解题过程中的运算量较大，但定义法的应用范围更广．

（作者单位：江苏省大港中学）