巧量井深

陈曦

这天，钱多多遇上了一个令他百思不得其解的难题，这要从他在书上看到的一则故事说起。故事说，有位古人利用一把短尺和一根树枝，在已知井口直径的情况下，居然量出了枯井的深度。

“姐姐，你说短尺根本探不到井底，他是怎么量出来的？难道他是凭借一身轻功跳到井里测量的？”钱多多好奇地问道。

姐姐回答：“当然不是！你想知道这其中的奥秘？”

钱多多迫不及待地拜托姐姐揭秘，姐姐不慌不忙地在纸上画了一条河。

“不是，你画条河干吗？我说的故事是测量井深。”钱多多显得有点儿着急。

“你先别急，我给你讲完这个方法，你就能知道测量井深的秘诀啦。”姐姐自信地说。

“好吧！”钱多多看到姐姐又在旁边放了一把直尺，抢答道，“这是要用直尺测量河的宽度？”

姐姐拍了拍钱多多的脑袋，说：“不错，不错，孺子可教也。”

钱多多说：“那怎么测呢？找根绳子，从河这头拉到河那头，然后再用直尺量一量绳子的长度？”

姐姐回答：“我還有一种更好的方法。假设河两岸两点为A和B，在岸边随机找一点P，P点和A点连成的线自然会和河岸有交点，如图上的C点。然后以P点画一条线和线段CB平行，这条线一定会和AB的延长线相交，交点就是T点，这样就有了两个三角形。”

钱多多接着说：“我看到了，A、B、C三点连成了一个三角形，还有一个三角形由A、T、P三点连成。”

姐姐问道：“多多，你觉得这两个三角形有什么特点？”

钱多多不假思索地回答：“这两个三角形看起来很像，只是一个大一个小。它们共用一个角，两条边还有共用的部分呢。”

姐姐拍掌道：“没错，你的感觉是对的。它们就像双胞胎，只是大小不同。在几何上，人们称它们为相似三角形。相似三角形有一个非常重要的定理——如果两个三角形是相似三角形，那么它们的对应边成比例。”

钱多多问：“什么叫对应边成比例？”

姐姐说：“两个三角形很像对吧？你觉得小三角形的边AB和大三角形的哪条边很像？”

钱多多回答：“那自然是AT这条边。”

姐姐说：“没错，这就是对应的边。按照这样的方法，你还能找到其他对应的边吗？”

钱多多回答：“这个不难，我一下就能找出来。AB和AT对应，AC和AP对应，BC和TP对应。”

姐姐说：“很好，那接下来就要解释比例了，这三组对应的边相除的结果是相等的。我来考考你，现在有一把直尺，你能测量并计算出哪两条对应边相除的结果？”

钱多多不屑地笑了起来，说：“这也太简单了，当然是在岸上的BC和TP这两条边。我知道了， = 。”

姐姐还没有回答，钱多多马上又发现了问题，说：“不对啊，姐姐。我们知道了AB和AT的比例，但还是不知道AB的长度啊，只能测量出BT的长度。”

姐姐回答：“你说得没错。但是AT=AB+BT对吧，所以==1+。线段BT可以通过测量得到，自然就可以算出AB的长度了。”

姐姐解释完后，见钱多多一直皱着眉头低头不说话，心想这小子是不是没听懂，正准备继续补充时，钱多多猛地抬头，大喊道：“我知道了，我知道古人怎么用短尺测井深了！”

钱多多一边在纸上画了起来，一边兴奋地解释道：“这和测量河宽的方法如出一辙！立起直尺，从直尺的顶端看向井底，可以将树枝放在井口，帮助找到人的视线和井口相交的点，这样就变成了两个相似三角形的问题。井口直径是已知的，线段AQ的长度也是已知的，线段QM就是树枝的长度，可以通过测量得到。利用姐姐你刚才说的相似三角形定理就能算出井深了。”

钱多多说完就在一旁得意地手舞足蹈，说：“我真是个天才！”

没想到，姐姐的一句话令他安静了下来。

姐姐说：“其实这里不只这一种相似三角形。”说完，姐姐在钱多多的图上又添了几笔，说道：“你看，这两个三角形，△AQM和△FNM，也是相似三角形。”

线段MN可以用井口直径减去线段QM得到，利用公式=，就可以算出井深NF的长度。

钱多多点头，说：“对，这样也能找到相似三角形！我发现这个相似三角形真的太有用了，古人也太厉害了吧！”

姐姐大笑起来，说：“别着急，多多，以后你还会学到更多有用的数学知识，说不定能成为大工程师哟。”