关于3级Fibonacci数的一些恒等式

杨衍婷

（咸阳师范学院 数学与统计学院，陕西 咸阳 712000）

在文献[1]中，Fibonacci 数Fn与Lucas 数Ln分别定义为

满足

其中α,β为方程x2-x-1=0 的两个不同的根。

Fibonacci 数Fn和Lucas 数Ln可分别称为2 级Fibonacci数和2级Lucas数。类似地，按照2级Fibonacci数与2级Lucas数的定义，3级Fibonacci数与3级Lucas数分别为

满足

其中α,β,γ为方程x3-x2-x-1=0 的3 个不同的根。

长期以来，关于Fibonacci 数的各种性质的研究一直是数论和组合数学中引人关注的焦点问题，包含Fibonacci数的恒等式更是国内外众多专家和学者的研究热点。杨海等[2-4]研究了二项式系数与Fibonacci 数幂的关系，得出了有趣的几个恒等式；陈国慧[5]利用初等方法以及指数函数的幂级数展开，给出了一组关于Fibonacci 数列及Lucas 数列的恒等式；Xue 等[6]研究了与二项式系数相关的广义Fibonacci与Lucas数的恒等式；吴振刚[7]研究了包含广义Fibonacci 数列倒数积的恒等式；陈斌[8]研究了广义Fibonacci 数的性质，给出了关于广义Fibonacci 数的两个恒等式。2 级Fibonacci 数的研究理论相对比较成熟，关于3级及以上高级Fibonacci数的研究较少，但是高级Fibonacci 数也是很重要的一类数论函数，应用也非常广泛，例如，庞荣波[9]研究了4 级Fibonacci数列的性质，并给出4 级Fibonacci 数在正整数分拆中的应用。本文利用3 级Fibonacci 数的生成函数，借助几何级数的和函数，研究包含3 级Fibonacci 数的恒等变换，得出了一些有趣的恒等式与同余式。

1 相关引理

引理1对于任意的实数δ,x,有

其中δx≠1，i=1,2,…。

根据数学归纳法，假设i=k时结论成立，当i=k+1 时

两边关于x求导，得

从而有

所以结论成立。

引理2对于任意的实数x,ξ,η,有

其中ξx≠1,ηx≠1，m=1,2,…。

证明：当m=1 时，

结论成立。

设m=k时结论成立，则当m=k+1 时

根据数学归纳法，结论成立。

引理3对于3级Fibonacci数和Lucas数，有

证明：根据3 级Fibonacci 数与3 级Lucas 数的定义与性质，有

2 主要结论

定理1对于任意的正整数a,b,n，有恒等变换

证明：基于Δ2=-44，根据引理1、引理2 和引理3，由几何级数的和函数

其中

推论1对于任意的正整数n，有同余式

证明：由定理1可得。

定理2对于任意的正整数a,b,c,n，有恒等变换

证明：由几何级数的和函数

由引理1 和引理2，将上式每一项展开成幂级数，然后对αn,βn,γn的系数分别组合合并同类项，根据根与系数的关系，将αn,βn,γn的系数表示成α,β,γ的幂(指数可以为负)的多项式，基于Δ2=-44，得

由引理3和3级Fibonacci数的递推关系可得结论。

推论2对于任意的正整数n，有同余式

证明：由定理2可得。

3 结论

Fibonacci 数与Lucas 数长期以来是研究的热点问题，在已有研究结果的基础上，本文利用三阶线性递推数列的基本性质，研究包含3 级Fibonacci 数的恒等变换，得出了一些有趣的恒等式与同余式，丰富和推广了2 级Fibonacci 数列的相关结论，为高级Fibonacci数列的研究提供一定的帮助。