n-一致模的构造(Ⅰ)
2022-05-27切洛太
切洛太,覃 锋,2*,傅 丽
(1.青海民族大学数学与统计学院,青海 西宁 810007;2.江西师范大学数学与统计学院,江西 南昌 330022)
0 引言
为将一致模算子和零模算子纳入统一的框架,P. Akella[1]于2007年提出了n-局部单位元的概念,定义了n-一致模,研究了它们的基本结构.鉴于2-一致模是一类非常重要的n-一致模,Zong Wenwen等[2]研究了2-一致模的结构,根据2-一致模在3点(0,1)、(0,z1)和(z1,1)的可能取值,将2-一致模分成5个相互独立的子类,完全刻画了其中的3个子类的结构,剩下的2个子类的结构还有部分没有刻画.这表明完全刻画所有2-一致模的结构是困难的，自然完全刻画所有n-一致模的结构也是困难的.因此后来的研究者通过附加一些特殊性质的办法来研究它们的结构.主要是从3个方面附加特殊性质:(i)附加代数性质，如将n-一致模的n-单位元取为特殊的2-单位元,就能分别获得零模[3]、一致零模和零一致模[4-6],或要求每个元素都是幂等元，就获得幂等n-一致模的结构刻画[7].(ii)附加一些分析性质，如要求基础算子是连续的，文献[7-9]对这类n-一致模算子进行了深入研究.(iii)附加一些逻辑性质或应用要求，如研究2-一致模算子的迁移性、分配性和条件分配性等，覃锋研究团队[10]和刘华文研究团队[2]在这方面做了大量的研究工作.
本文将从构造的角度来研究n-一致模，这不同于上述研究思路.详细说来就是，借助Clifford半群序和理论，提出了2种n-一致模的构造方法，基于这些构造方法，可以构造许多新的n-一致模.此外,利用这些构造方法，证明了在文献[8]中对具有连续基础算子n-一致模的分解定理的逆命题都成立.
1 预备知识
首先回顾三角模、三角余模和一致模的概念及其相关性质[11-13].
称二元函数T:[0,1]2→[0,1]为三角模(简称T-模),若它满足交换性、结合性、关于每个变元递增且有单位元1.称二元函数S:[0,1]2→[0,1]为三角余模(简称T-余模)，若它满足交换性、结合性、关于每个变元递增且有单位元0.三角模的对偶函数是三角余模.对于任意的三角模T都可以通过方程S(x,y)=1-T(1-x,1-y)获得它的对偶三角余模S,反之亦然.这揭示了三角模和三角余模之间的对偶性.
称二元函数U:[0,1]2→[0,1]为一致模，若U满足结合性、交换性、关于每个变元单调递增，并且存在点e∈[0,1]使得∀x∈[0,1]有U(x,e)=x.此时称e为U的单位元.
显然当e=1和e=0时,U分别退化为三角模和三角余模.当一致模U的单位元e∈(0,1)时，称U为真一致模.此外，由一致模的结合性和单调性不难获得U(0,1)∈{0,1},当U(0,1)=0时，称U为合取一致模，当U(0,1)=1时，称U为析取一致模[12].为了方便叙述,本文仅考虑真一致模.对于任意真一致模U，定义2个二元算子TU、SU:[0,1]2→[0,1]分别为TU(x,y)=U(ex,ey)/e,SU(x,y)=(U(e+(1-e)x,e+(1-e)y)-e)/(1-e).显然TU和SU分别是三角模和三角余模.换句话说，任意真一致模U在区域[0,e]2上是一个三角模，在区域[e,1]2上是一个三角余模.TU和SU分别被称为基础三角模和基础三角余模，把单位区域内的剩余部分记为A(e),即
A(e)=[0,e)×(e,1]∪(e,1]×[0,e)=[0,1]2([0,e)2∪[e,1]2).
在区域A(e)内，任意一致模U的取值均以它变元的取小和取大作为约束边界，即∀(x,y)∈A(e)都有
min(x,y)≤U(x,y)≤max(x,y).
称一致模U具有连续的基础算子，若它的基础三角模TU和基础三角余模SU都是连续的.为了表述的完整性，接下来回顾零模的定义.所谓零模就是二元函数F:[0,1]×[0,1]→[0,1]满足结合性、交换性、关于每个变元单调递增，∃z1∈[0,1]使得∀x∈[0,1]有F(z1,x)=z1,当x≤z1时,有F(0,x)=x,当x≥z1时,有F(1,x)=x,此时称z1为F的零元或零化子.下面介绍n-一致模算子的定义与基本性质，n-一致模是一致模和零模的推广.
定义1[1-2]若Un:[0,1]2→[0,1]为二元交换函数,0=z0 定义2[1-2]令Un:[0,1]2→[0,1]为二元交换函数,0=z0 下面回顾n-一致模的基本性质. 注1若n-一致模Un:[0,1]2→[0,1]有n-单位元{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1,则 (i)Un限制在[zi-1,ei]2上同构于某三角模并记为Ti(i=1,2,…,n); (ii)Un限制在[ei,zi]2上同构于某三角余模并记为Si(i=1,2,…,n); (iii)Un限制在[zi-1,zi]2上同构于某一致模并记为Ui(i=1,2,…,n); (iv)Un限制在[zi,zj]2上同构于某(j-i)一致模,i,j∈{1,2,…,n},i 称n-一致模Un具有连续的基础算子，若它的所有基础三角模T1,T2,…,Tn和所有基础三角余模S1,S2,…,Sn都连续.由文献[1]的引理9可知对任意n-一致模Un都满足Un(0,1)∈{zi|i=1,2,…,n}.特别地，若n-一致模Un满足Un(0,1)=zk,k∈{1,2,…,n-1},则称其是第I类n-一致模.这样的n-一致模可以看成作用在[0,zk]2上的k-一致模、作用在[zk,1]2上的(n-k)-一致模以及当(x,y)∈{[0,zk]×[zk,1]}∪{[zk,1]×[0,zk]}时Un(x,y)=zk的3个算子的“黏合”. 前面的所有算子都是定义在单位区间[0,1]上,下面推广到一般情况.为此需要引入线性变换和分段线性变换概念.为了方便表述，用/a,b/表示4类区间[a,b]、(a,b]、[a,b)、(a,b)之一，定义线性变换φ:/a,b/→/c,d/为 φ(x)=(x-a)(d-c)/(b-a)+c. 若/a,b/=/0,1/,则二元算子V:/0,1/2→/0,1/通过线性变换可以变为U:/c,d/2→/c,d/,U(x,y)=φ(V(φ-1(x),φ-1(y))).这允许借助于/0,1/上的二元算子定义/c,d/上的二元算子U,即U在/c,d/上运算封闭，它与定义在[0,1]上的某对应二元运算限制在/0,1/2上关于φ同构.如定义在/c,d/上的三角模T是指它在/c,d/上运算封闭，与定义在[0,1]上的某三角模限制在/0,1/2上关于φ同构；定义在/c,d/上的第I类n-一致模V是指它在/c,d/上运算封闭，与定义在[0,1]上的某第I类n-一致模限制在/0,1/2上关于φ同构.进一步地，若某一定义在[0,1]上具有连续基础算子的第I类n-一致模限制在/0,1/2上关于φ与之同构，则称其为定义在/c,d/上具有连续基础算子的第I类n-一致模. 下面借助特殊的同构映射——分段线性变换——来观察在[0,1]上的一致模.若0≤a (1) 引理1[14]设A≠∅是全序集，(Gα)α∈A是一族半群，这里(Gα)=(Xα,*α),Xα≠∅，∀α,β∈A,当α<β时，Xα与Xβ不相交,或者Xα∩Xβ={Xα,β}并且Xα,β既是Gα的单位元又是Gβ的零化子，∀γ∈A,α<γ<β有Xγ={Xα,β}.令X=∪α∈AXα,定义二元运算*为 则G=(X,*)是一个半群，并且G交换当且仅当∀α∈A,半群Gα是交换的. 本部分以一致模和n-一致模为出发点，借助Clifford序和定理，提出了2种构造n-一致模的方法.与文献[8]中具有连续基础算子的n-一致模的对应分解定理进行比较，发现这些分解定理的逆命题都成立. 在Clifford序和定理中，基础集Xα和Xβ不相交或者相交于{Xα,β}.这里考虑相交的情况，即假设外层一致模和内层n-一致模相交于一点，提出了一种n-一致模的构造方法，称这种方法为基于序和的n-一致模的构造方法1. 定理1设0=z0≤x0 证注意到半群G1和G2相交于点zk,且zk既是半群G1的单位元又是半群G2的零化子，因此根据引理1可知序和V在[0,1]上是结合的且交换的.要验证V是n-一致模，只需验证它在[0,1]上有n-单位元{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1且单调即可.首先验证它有n-单位元{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1,为此需考虑下面4种情况. (i)若x∈[0,x0),则由引理1、e1∈[x0,y0]以及序关系1<2可知V(e1,x)=x. (ii)若x∈[x0,z1],则由引理1以及{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1是G2的n-单位元可知V(e1,x)=G2(e1,x)=x. (iii)若x∈(zi-1,zi],i=2,3,…,n-1,则由引理1以及{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1是G2的n-单位元可知V(e1,x)=G2(ei,x)=x. (iv)若x∈(zn-1,y0],则由引理1以及{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1是G2的n-单位元可知V(en,x)=G2(en,x)=x. (v)若x∈(y0,1],则由引理1,en∈[x0,y0]以及序关系1<2可知V(en,x)=x. 综上所述,V有n-单位元{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1.接下来验证V是单调的,为此需考虑下面3种情况. (i)x∈[0,x0).当y∈[0,x0)时，由G1是在[0,x0)∪{zk}∪(y0,1]上以zk为单位元的任意一致模可知V(x,y)≤V(x,zk);当y∈[x0,y0]时，由序和的定义可知V(x,y)=x;当y∈(y0,1]时,由G1是在[0,x0)∪{zk}∪(y0,1]上以zk为单位元的一致模可知V(x,y)≥V(x,zk)=x. (ii)x∈[x0,y0].当y∈[0,x0)时，由序和的定义可知V(x,y)=y (iii)x∈(y0,1].当y∈[0,x0)时，由G1是在[0,x0)∪{zk}∪(y0,1]上以zk为单位元的一致模可知V(x,y)≤V(x,zk)=x;当y∈[x0,y0]时，由序和的定义可知V(x,y)=x;当y∈(y0,1]时，由G1是在[0,x0)∪{zk}∪(y0,1]上以zk为单位元的一致模可知V(x,y)≥V(x,zk)=x. 综上所述,V是单调的.这就证明了V是在[0,1]上的一个n-一致模. 从定理1的证明不难看出:序和V的n-单位元{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1是由G2的n-单位元扩充而成.根据引理1、序关系1<2以及zk∈[x0,y0]可知∀x∈[x0,y0]有V(zk,x)=zk,因此G2必须是在[x0,y0]上的第I类n-一致模.此外，除要求G1和G2分别是一致模和第I类n-一致模外，就没有其他限制了.接下来考虑在定理1中的一些特殊情况. 注2(i)在定理1中，若令x0=0,y0=1,则G1就退化为只有1个元素的平凡半群({zk},Id),此时V=G2.根据引理1以及序关系1<2知∀x∈[0,1]有V(zk,x)=zk,这表明任意第I类n-一致模都可写成这种序和形式.对于其他n-一致模而言，它们都不能写成这种序和形式，这是因为∃x0∈[0,1]使得V(x0,zk)≠zk. (ii)在定理1中，若令x0=0(或y0=1)，则G1就退化为定义在{zk}∪(y0,1]上的三角余模(在[0,x0)∪{zk}上的三角模)，此时V可以看成G2和三角余模(三角模)的序和，这表明第I类n-一致模与三角余模(三角模)按这种方式生成的序和仍然是n-一致模.进一步地,注意到G1限制在(y0,1]、[0,x0)上关于运算是封闭的，与限制在[0,1]上的三角余模(在[0,1]上的三角模)同构，与G2不相交，故也可将序和V看成是第I类n-一致模与限制的三角模(或限制的三角余模)的序和. 例1令U1是在[0,1]上的“3Π”一致模,即 (2) ψ:[0,1]→[0,1/4)∪{1/2}∪(3/4,1]为分段线性同构映射,G1(x,y)=ψ(U1(ψ-1(x),ψ-1(x))), (3) 则G1和G2的序和V是在[0,1]上的2-一致模. 对在[0,1]上满足下面命题中条件的具有连续基础算子的n-一致模，文献[8]的定理5.10给出了分解定理.其实，它的逆命题也成立，现总结如下. 命题1令Un:[0,1]2→[0,1]是二元运算，记Un(0,1)=zk,k∈{1,2,…,n-1},x0=inf{x∈[0,1]|Un(x,zk)=zk},y0=sup{x∈[0,1]|(x,zk)=zk},Un(x0,y0)=zk,则Un是以{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1为n-单位元且具有连续基础算子的n-一致模当且仅当它可分解为2个半群G1和G2的序和,其中G1是在[0,x0)∪{zk}∪(y0,1]上以zk为单位元且具有连续基础算子的一致模,G2是在[x0,y0]上以{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1为n-单位元且具有连续基础算子的第I类n-一致模，序关系为1<2. 证由文献[8]的定理5.10可知必要性成立.为证明充分性，根据定理1，只需证明Un在{[0,x0]×{x0}}∪{{x0}×[0,x0]}和{[y0,1]×{y0}}∪{{y0}×[y0,1]}上连续即可.使用Un的单调性和交换性以及序和的结构定理，只需证明∀x∈(0,x0),截线Un(x,·)在点x0处左连续即可，因为其他情况完全类似可证.事实上，记U1是定义在[0,1]上有单位元e1的一致模并与G1同构，则∀x∈(0,x0)有 定理1讨论了在2个半群的基本集相交于一点时其序和构成n-一致模的情况.但由引理1可知,当2个半群不相交时，其序和构成仍然能构成半群.因此,把从2个不相交半群出发构造n-一致模的方法称为基于序和的n-一致模的构造方法2.这里考虑2种情况.首先考虑G1是在[0,x0]∪(y0,1]上以x0为单位元的任意一致模，G2是在(x0,y0]上以{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1为n-单位元的n-一致模. 定理2设0=z0≤x0≤e1≤z1<… 证因为G1与G2不相交，由引理1可知V在[0,1]上是结合与交换的.要验证V是在[0,1]上的n-一致模，只需验证它在[0,1]上有n-单位元{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1且是单调的即可.首先验证它在[0,1]上有n-单位元{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1,为此需考虑下面5种情况. (i)若x∈[0,x0],则由引理1、e1∈(x0,y0]以及序关系1<2可知V(e1,x)=x. (ii)若x∈(x0,z1],则由引理1以及{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1是G2的n-单位元可知V(e1,x)=G2(e1,x)=x. (iii)若x∈(zi-1,zi],i=2,3,…,n-1,则由引理1以及{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1是G2的n-单位元可知V(ei,x)=G2(ei,x)=x. (iv)若x∈(zn-1,y0],则由引理1以及{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1是G2的n-单位元可知V(en,x)=G2(en,x)=x. (v)若x∈(y0,1],则由引理1、en∈(x0,y0]以及序关系1<2可知V(en,x)=x. 综上所述,V有n-单位元{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1.接下来验证V是单调的，为此需考虑下面3种情况. (i)x∈[0,x0].当y∈[0,x0]时，由G1是在[0,x0]∪(y0,1]上以x0为单位元的任意一致模可知V(x,y)≤V(x,x0)=x;当y∈(x0,y0]时，由序和的定义可知V(x,y)=x;当y∈(y0,1]时，利用G1是在[0,x0]∪(y0,1]上以x0为单位元的任意一致模可知V(x,y)≥V(x,x0)=x. (ii)x∈(x0,y0].当y∈[0,x0]时，由序和的定义可知V(x,y)=y≤x0；当y∈[x0,y0]时，由G2是在(x0,y0]上以{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1为n-单位元的n-一致模可知x0 (iii)x∈(y0,1].当y∈[0,x0]时，由G1是在[0,x0]∪(y0,1]上以x0为单位元的任意一致模可知V(x,y)≤V(x,x0)=x；当y∈(x0,y0]时，由序和的定义可知V(x,y)=x;当y∈(y0,1]时，由G1是在[0,x0]∪(y0,1]上以x0为单位元的任意一致模可知V(x,y)≥V(x,x0)=x. 综上所述,V是单调的.这就证明了V是在[0,1]上的n-一致模. 在定理2中，序和V的n-单位元{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1可看成 由G2的n-单位元扩充而成.下面考虑在定理2中的一些特殊情况. 注3(i)在定理2中,若令x0=0,y0=1,则G1就退化为只有1个元素的平凡半群({0},Id),根据引理1以及1<2可知∀x∈[0,1]有V(0,x)=0,特别地有V(0,1)=0. (ii)在定理2中，若令x0=0(或y0=1),则G1就退化为定义在{0}∪(y0,1]上的三角余模([0,x0]上的三角模)，此时V可以看成G2和三角余模(三角模)的序和，这表明定义在(x0,y0]上的n-一致模与三角模(三角余摸)的按这种方式生成的序和仍然是n-一致模. (iii)在定理2中，若令en=1,则必有y0=1,此时G1退化为定义在[0,x0]上的三角模，G2退化为定义在(x0,1]上有n-单位元{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1的n-一致模.从定理2的证明不难发现{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1也是序和V的n-单位元. (iv)在定理2中，若令e1=0，则必有x0=0，此时G1退化为定义在{0}∪(y0,1]上的三角余模，G2退化为定义在(0,y0]上有n-单位元{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1的n-一致模.根据定理2的证明过程不难发现{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1也是序和V的n-单位元. 对在[0,1]上满足下面命题中条件的具有连续基础算子的n-一致模，文献[8]的定理5.10给出了分解定理.其实，它的逆命题也成立，现总结如下. 命题2令Un:[0,1]2→[0,1]是二元运算,记Un(0,1)=zk,k∈{1,2,…,n-1},x0=inf{x∈[0,1]|Un(x,zk)=zk},y0=sup{x∈[0,1]|Un(x,zk)=zk},Un(x0,y0)=x0,Un(zk,y0)=zk,∀y>y0有Un(x0,y)=y,则Un是以{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1为n-单位元且具有连续基础算子的n-一致模当且仅当它可分解为2个半群G1和G2的序和，其中G1是在[0,x0]∪(y0,1]上以x0为单位元且具有连续基础算子的一致模，G2是在(x0,y0]上以{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1为n-单位元且具有连续基础算子的第I类n-一致模，序关系为1<2. 证由文献[8]的定理5.10可知必要性成立.为证明充分性，根据定理2，只需证明V在{[0,x0]×{x0}}∪{{x0}×[0,x0]}和{[y0,1]×{y0}}∪{{y0}×[y0,1]}上连续即可.但剩余的证明过程完全类似命题1的证明过程，故略去. 接下来，考虑第2种情况:定理2的对偶情况，即假定G1是在[0,x0)∪[y0,1]上以y0为单位元的任意一致模，G2是在[x0,y0)上以{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1为n-单位元的n-一致模.在这里仅罗列结论，因为证明过程完全类似，故略去. 定理3设0=z0≤x0≤e1≤z1<… 在定理3中，序和V的n-单位元{e1,e2,…,en}z1,z2,…,zn-1可看成由G2的n-单位元扩充而成.下面考虑在定理3中的一些特殊情况. 注4(i)在定理3中,若令x0=0,y0=1,则G1就退化为只有1个元素的平凡半群({1},Id),根据引理1以及1<2可知∀x∈[0,1]有V(1,x)=1,特别地有V(1,0)=1. (ii)在定理3中，若令x0=0(或y0=1),则G1就退化为定义在[y0,1]上的三角余模(在[0,x0)∪{1}上的三角模)，此时V可以看成G2和三角余模(三角模)的序和，这表明定义在[x0,y0)上的n-一致模与三角余模(三角模)按这种方式生成的序和仍然是n-一致模. 注意到定理3除要求G1和G2不相交外，仅要求G2是一般的n-一致模，没有其他任何限制.因此，在定理3中当G2是第I类n-一致模时，结论显然成立.对于在[0,1]上满足下面命题中条件的具有连续基础算子的n-一致模，虽然文献[8]没有给出分解定理，但是类似于命题2，它有如下完全刻画，这里略去其证明. 命题3令Un:[0,1]2→[0,1]是二元运算，记Un(0,1)=zk,k∈{1,2,…,n-1},x0=inf{x∈[0,1]|Un(x,zk)=zk},y0=sup{x∈[0,1]|Un(x,zk)=zk},Un(x0,y0)=y0,Un(zk,x0)=zk,∀x 本文从2个半群出发，借助Clifford半群序和理论，提出了2种n-一致模的构造方法，利用这些构造方法，能构造大量新的n-一致模，丰富了对n-一致模的认识.此外，利用这些构造方法，证明了文献[8]中关于具有连续基础算子n-一致模的分解定理的逆命题都成立.在未来的工作中，将致力于n-一致模的新构造方法，尤其是在有界格上的构造方法.
2 从序和的观点来构造n-一致模
2.1 构造方法1
2.2 构造方法2
3 结束语
