专题复习 图形的认识——四边形

王云峰

四边形是“图形与几何”的重要内容之一，它包含平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形。下面举例说明四边形中一些常见混淆点并加以剖析，供同学们参考。

易错点一 特殊四边形判定方法混淆

例1 下列命题是真命题的是（ ）。

A.对角线相等的四边形是平行四边形

B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形

D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

【错解】D。

【剖析】选项A中，由“对角线相等”不能得到四边形是平行四边形，选项A不正确;选项B中，由“对角线互相平分”可知四边形是平行四边形，进而由“对角线相等”可知该四边形是矩形，选项B正确;选项C中，由“对角线互相垂直”不能得到四边形是平行四边形，因而不能得到该四边形是菱形，选项C不正确;选项D中，由“对角线互相平分”可知该四边形是平行四边形，进而由“对角线互相垂直”可知该四边形是菱形，选项D不正确。故选B。

【点评】特殊四边形的判定主要从边、角、对角线三个角度来判断，这些判定方法极易混淆，一般可采用“过关法”来求解，即四边形过了“平行四边形”这一关，才有可能成为矩形、菱形或正方形，平行四边形同时过“矩形”“菱形”两关才能成为正方形。需要注意的是，四边形具备的条件较多，但不一定就能成为特殊四边形。

易错点二 多结论判断题判断有误

例2 如图1，在▱ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①AM=CN;②若MD=AM，∠A=90°，则BM=CM;③若MD=2AM，则S△MNC=S△BNE;④若AB=MN，则△MFN与△DFC全等。其中正确结论的个数为（ ）。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【错解】不能正确判断结论而导致错选。

【剖析】结论①，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD。

∵E是BD的中点，∴BE=DE。

又∵∠MED=∠BEN，

∴△MDE≌△NBE（ASA），

∴DM=BN，∴AD-DM=BC-BN，即AM=CN。故①正确。

结论②，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，∴▱ABCD是矩形，AB=DC，

∴∠ADC=∠A=90°。

又∵AM=DM，

∴△BAM≌△CDM（SAS），

∴BM=CM。故②正确。

结论③，如图2，过点M作MG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，则MG∥EH，

∴△NEH∽△NMG，∴EH/MG=EN/MN。

∵△MDE≌△NBE，∴EM=EN，

∴EH/MG=EN/MN=1/2，∴MG=2EH。

∵MD=2AM，MD=BN，AM=CN，

∴BN=2CN，

∴S△MNC=1/2CN·MG=1/2×1/2BN·2EH

=1/2BN·EH=S△BNE。故③正確。

结论④，当MN∥CD时，∵AD∥BC，

∴四边形MNCD是平行四边形，

∴MN=CD，MF=CF，NF=DF，

∴△MFN≌△DFC（SSS）。

当MN与CD不平行时，如图3，过点M作MP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥BC，交BC的延长线于点Q，则MP∥DQ。

又∵AD∥BC，∴四边形DMPQ是平行四边形，∴MP=DQ。

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD。

∵AB=MN，∴MN=DC，

∴Rt△MNP≌Rt△DCQ（HL），

∴∠MNP=∠DCQ，∴∠MNC=∠DCN。

又∵MN=DC，NC=NC，

∴△MNC≌△DCN（SAS），

∴∠NMC=∠CDN。

又∵∠MFN=∠DFC，MN=DC，

∴△MNF≌△DCF（AAS）。

综合知，④正确。

故选D。

【点评】多结论判断题所涉及的知识点较多，综合性强，同学们解答时要对每个结论逐一判断，如果其中某个结论判断有误，就会导致答案出错。

（作者单位：江苏省盐城市葛武初级中学）