“整式乘法与因式分解”的生活应用

徐钰倩

学习了“整式乘法与因式分解”一章，我们就可以立足于本章知识，在实际生产、生活中加以应用，将学到的数学思想、知识技能和方法运用到现实生活中。

例1 每学期开始的时候，一些同学要为新书包上书皮。现有一本数学教材，如图1，其长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm。用一张长方形纸包这本数学教材，需要将封面和封底各边各折进去一部分。封皮的平面展开图如图2所示。

假设封面和封底各边各折进去xcm比较合适，那么，当各边多折进去1cm时，包书纸面积要增加多少cm2？

【分析】要解决这个问题，就要把包书纸面积用含x的代数式表示出来，然后将x替换为x+1，再作差計算。

解：包书纸的面积是（18.5×2+1+2x）（26+2x）=（38+2x）（26+2x）=4x2+128x+988，

多折进去1cm时，包书纸的面积是4（x+1）2+128（x+1）+988，

作差，得8x+132，即包书纸面积要增加（8x+132）cm²。

用数学的眼光来看这个问题，就是多项式乘多项式和整式减法的运用。用数学语言计算出来的结果是带有一般意义的量，揭示了一般规律，即和前一次折进去的xcm相比，再多折1cm，包书纸的面积就要增加（8x+132）cm²。

例2 某工厂需要建造一个模型，在半径为R的圆形钢板上，除去半径为r的四个小圆。当R=7.8cm，r=1.1cm时，剩余部分的面积是多少？（四个小圆各不相交，结果保留π。）

【分析】剩余部分的面积等于大圆的面积减四个小圆的面积。如果直接计算，由于涉及平方运算，比较烦琐，我们不妨先列出算式，再观察，最后通过因式分解使运算变简便。

解：剩余部分的面积=7.82π-1.12×4π=7.82π-1.12×22π=（7.82-2.22）π=（7.8+2.2）×（7.8-2.2）π=10×5.6π=56π（cm2）。

我们用数学的眼光观察算式，就会根据算式特征自然联想到平方差公式，再用因式分解的思维进行操作，就会使运算变得简单。

（作者单位：江苏省无锡市钱桥中学）