Arps双曲线递减模型的多解性和不确定性

陈元千，徐 良，2

（1.中国石油勘探开发研究院，北京 100083；2.中国地质大学（北京）能源学院，北京 100083）

对于包括页岩气的油气井和油气藏，当产量进入递减阶段后，产量递减法是评价油气井产量和可采储量的主要方法。ARPS 于1945年基于对油井产量递减曲线数据的统计、分析，首创地提出了递减率概念及其微分表达式［1-2］。在此基础上，对于递减率为常数和非常数的两种情况，分别建立了指数递减模型和双曲线递减模型与调和递减模型的雏形。1956年ARPS 对三种递减模型又进行了整理归纳和研究［2］。然而，应当指出，递减率为常数的指数递减模型，由于具有简单易行的特点，在国际上得到油气开采公司和评估公司的青睐。而双曲线递减模型和由它简化得到的调和递减模型，在实际中应用得很少。为此，笔者对Arps 双曲线递减模型进行了回顾性推导，发现应用得很少与该模型存在的多解性和不确定性有关，与陈元千泛指数递减模型（GEDM）［3］的实际应用进行对比，得到了n=0.5 的双曲线递减模型是最佳模型。

1 Arps 双曲线递减模型建立的回顾性推导

ARPS 基于对油井产量递减曲线的统计、分析，首次提出的递减率微分表达式［1-2］为：

应当指出，Arps 这一递减率概念及微分表达式，已被陈元千等［4-5］成功地应用于等温吸附方程和渗吸驱油方程的推导。

为了建立双曲线递减模型，ARPS 在缺乏理论研究的情况下，直接提出了递减率与产量的经验公式［1-2］，其表达式为：

ARPS 将n称为递减指数，其理论变化范围为（0，1）。

将（2）式代入（1）式，分离变量，代入上下限得到的表达式为：

将（3）式积分并整理后，可得产量与时间的关系式为：

由（2）式可得初始理论月递减率的表达式为：

将（5）式代入（4）式得Arps 双曲线递减模型的产量公式为：

由推导可知，Arps 双曲线递减模型的建立是依赖于经验性的（2）式。因此，它应该是一个经验公式。

已知累积产量表示为：

将（6）式代入（7）式，经分离变量，代入上下限进行积分后，可得Arps 双曲线递减模型的累积产量为：

再将（6）式代入（8）式，得到Arps 双曲线递减模型的累积产量与产量的关系式为：

当q→0时，由（9）式得Arps双曲线递减模型的井控可采储量为：

由（2）式除以（5）式得：

将（11）式代入（6）式得Arps 双曲线递减模型的递减率为：

应当指出，由（2）式看出，当n=0时，qn=1，D=k，经推导可得Arps指数递减模型的产量公式；当n=1时，由Arps 双曲线递减模型，可得Arps 调和递减模型的产量和递减率的公式，但得不到累积产量和井控可采储量的公式。由此可见，调和递减模型不能用于可采储量的评价。BAIHLY 等利用Arps双曲线递减模型评价美国Barnett，Fayetteville，Woodfort，Haynesville 和Marcellus 等5 个页岩气田单井30 a 的累积产量时，所得到的递减指数n均大于1［6-7］。而Arps 双曲线递减模型的递减指数范围应为（0，1），因此，BAIHLY等评价的结果显然是不正确的。

将（1）式代入（9）式，并变换可以得到q1-n与Gp的关系式为：

其中：

通过（14）式和（15）式，确定qi和Di的表达式分别为：

2 Arps 双曲线递减模型不确定性的揭示

美国宾州Marcellus 页岩气藏M1 井生产数据（表1）中，第1 个月的产量实际是投产后第2 个月的产量。因排液的影响，该气井开井后第1 个月的产量偏低，为262×104m3/mon。

表1 M1页岩气井的生产数据（据文献［8］修改）Table1 Production data from M1 shale gas well［8］

根据表1，利用（13）式求解，得到了Arps双曲线递减模型（AHDM）不同n值下的相关系数（R2）、初始理论月产量（qi）、初始递减率（Di）和井控可采储量（GR）（表2），将相关系数（R2）和井控可采储量（GR）绘于图1。由图1可以看出，相关系数和井控可采储量均随n值的增加而增加，并不存在评价井控可采储量的最佳条件。这充分表明了Arps 双曲线递减模型存在多解性和不确定性。

图1 M1页岩气井利用AHDM评价的R2和GR与n的关系Fig. 1 Plot of R2 and GR with n for M1 shale gas well by AHDM

表2 M1页岩气井利用AHDM评价的结果Table2 Estimated results of M1 shale gas well by AHDM

3 Arps 双曲线递减模型的可比性选择

利用陈元千提出的泛指数递减模型（GEDM）［3］用于Arps 双曲线递减模型的可比性选择。陈元千提出的泛指数递减模型的产量为：

井控可采储量为：

递减率与时间的关系式为：

（18）式—（20）式中的m为泛指数，其理论范围为（0，1）。当m=1 时可得Arps 指数递减模型的关系式。为了确定模型中的qi和c值，将（18）式取自然对数得：Γ(1/m)和GR值列于表3，并将R2和GR绘于图2。由

表3 M1页岩气井利用GEDM的评价结果Table3 Estimated results of M1 shale gas well by GEDM

将由（21）式求得的不同m值下的R2，qi，c，图2 看出，R2与m的关系曲线存在峰值，对应的峰位m=0.5。该m值对应的井控可采储量即为欲求的最佳井控可采储量GR=1.626×108m3。根据文献［8］的研究，双曲线递减模型的n值，与泛指数递减模型的m值，存在n=1-m的关系。因此，由m=0.5 泛指数递减模型，可得双曲线递减模型n=0.5 的最佳选择。由表1 可知，n=0.5 的井控可采储量GR=1.537 5×108m3，这与m=0.5 泛指数递减模型评价的井控可采储量基本相同。

图2 M1页岩气井利用GEDM评价的R2和GR与n的关系Fig. 2 Plot of estimated R2 and GR with n of M1 shale gas well by GEDM

当双曲线递减模型和泛指数递减模型的指数均为0.5 时，M1 页岩气井实际产量数据点与m=0.5泛指数递减模型的预测理论曲线拟合得较好（图3）；双曲线递减模型预测的递减率曲线变化较小（图4），而泛指数递减模型预测的递减率曲线开始变化较大，5 个月后递减率变化趋势逐渐变缓，这符合页岩气井产量递减曲线变化的特征。

图3 指数为0.5时两类递减模型预测产量与M1页岩气井实际产量对比Fig. 3 Plot of predicting q with t of two decline models（m=0.5 and n=0.5）

图4 双曲线和泛指数递减模型指数为0.5时预测的D值Fig. 4 Plot of predicting D with t of two decline models（m=0.5 and n=0.5）

4 结论

对于非常规的页岩气藏，需要通过钻水平井，实施多段压裂，以降压解吸方式投入开采。通过多段压裂形成的以页岩水平气井为中心的连通体，是一个定容、封闭、独立的开采单元。因此，产量递减法是评价页岩气井产量和井控可采储量的重要方法。由ARPS 建立的指数递减模型、双曲线递减模型和调和递减模型，可能是世人共同关注的评价方法。然而，Arps 指数递减模型，由于递减率随时间为常数，并不适用于页岩气井产量开始递减得快，而后逐渐变慢的特点。Arps 双曲线递减模型，由于存在明显的不确定性，难以进行可靠的评价。由Arps 双曲线递减模型，当n=1 时简化得到的调和递减模型，在实际中很少应用，只有其名，而无有其实。通过对Arps 双曲线递减模型建立的回顾，揭示了该模型存在的经验性、多解性和不确定性。同时，通过与泛指数递减模型的实际对比应用，得到了n=0.5 双曲线递减模型具有较好的评价结果。n=0.5 双曲线递减模型和m=0.5 泛指数递减模型评价的井控可采储量基本一致。m=0.5 的泛指数递减模型的预测结果好于n=0.5的双曲线递减模型。n=0.5双曲线递减模型预测的递减率曲线自始至终变化较小，并不符合页岩气井产量开始递减较快而后递减变慢的特点。而m=0.5 的泛指数递减模型，预测的递减率曲线符合页岩气井开始递减得快，而后变慢的特点。BAIHLY 等利用Arps 双曲线递减模型，预测美国Barnett等5个页岩气田单井30 a的累积产量，由于确定的递减指数n都大于1，完全不符合该模型递减指数为（0，1）的理论范围，因此，评价结果是不正确的。

符号解释

A和B——Arps双曲线递减模型直线的截距和斜率；

c——泛指数递减模型的时间常数，mon；

D——月递减率，mon-1；

Di——初始理论月递减率，即t=0 时的理论月递减率，mon-1；

Gp——累积产量，104m3；

GR——井控可采储量，104m3或108m3；

k——Arps经验公式的比例常数；

m——泛指数递减模型的幂指数，dim；

n——Arps双曲线递减模型的递减指数，dim；

q——页岩气井月产量，104m3/mon；

qi——初始理论月产量，即t=0 时的理论月产量，104m3/mon；

R2——相关系数，dim2；

t——生产时间，mon；

α和β——泛指数递减模型直线的截距和斜率；

Γ(1/m)——完全伽马函数。