含五次非线性项的Schrödinger方程的多辛算法

徐金平，陈特清

(1.闽南理工学院 信息管理学院，福建 石狮 362700;2.闽南理工学院 教育学院，福建 石狮 362700)

0 引言

非线性Schrödinger方程在量子力学等领域有重要应用，近几十年来，科研工作者对此类方程在数值求解方面做了许多研究[1-7].笔者将讨论一类更广泛的含五次非线性项的Schrödinger方程 (简称QNLS方程)

iut+uxx-(|u|2+|u|4)u=f(x,t)u

的初值问题的多辛算法．为此，先通过引入正则变量把此方程转化成多辛形式的方程组，再把得到的多辛方程组分别在时间方向和空间方向用二阶Runge-Kutta方法离散，可以得到其多辛Preissman格式，最后用数值实验验证了此格式具有较好的精度，且能保持长时间的稳定性.

1 NLS方程的多辛方程组及其守恒律

考虑如下含五次非线性项的Schrödinger方程的初边值问题:

iut+uxx-(|u|2+|u|4)u=f(x,t)u,(-L≤x≤L,t>0),

(1)

u(x,0)=u0(x),u(-L,t)=u(L,t)=0.

(2)

其中,u(x,t)是复函数，f(x,t)是实函数，i2=-1．

为构造(1)的多辛方程组，令u(x,t)=a(x,t)+ib(x,t),其中a(x,t)、b(x,t)均为实函数,代入式(1)，并将虚部和实部分开,可得如下方程组：

(3)

引入正则变量ax=p,bx=-q，代入式(3)可得多辛方程组：

(4)

令z=(a,b,p,q)T，

则式(4)为

(5)

其中,Hamilton函数为

(6)

多辛方程组(5)相应的多辛守恒律为

(7)

局部能量守恒律为

(8)

局部动量守恒律为

然而，在大量社会资本涌入长租公寓领域的背后，由于欠缺准入门槛、标准规范以及法律法规，市场发展良莠不齐的问题日渐突出。

(9)

(10)

把此格式应用于QNLS方程的多辛方程组(4), 得到如下格式:

(11)

(12)

(13)

在式(11)～(13)中消去中间变量p,q,得

(14)

式(14)为本文的多辛Preissman格式.

2 数值实验

本节用一个具体算例来考查多辛Preissman格式的数值模拟能力. 为此，在QNLS方程(1)～(2)中取

f(x,t)=4(x-2t)2-exp[-2(x-2t)2]-exp[-4(x-2t)2],u0(x)=exp(-x2+ix),

此时QNLS方程(1)～(2)有解析解：u(x,t)=exp[(x+2t)2+i(x-3t)].

取空间方向的计算区间为[-15,15]，固定空间步长h=0.1，分析不同时间步长τ=0.01和τ=0.001两种情况. 用多辛Preissman格式(14)模拟到tn=1.0.表1列出了τ在上述两种取法下的数值解和真解在几个时刻的最大误差和平方模误差的比较.

表1 数值解在不同时间步长下模拟得到的误差

从表1可以看出，当时间步长τ取0.01时，误差精度保持在10-2左右. 如果把时间步长取得更小一些，当取τ=0.001时，数值解可以更好地逼近真解值.

下面给出格式(14)在初始条件f(x,t)=0时的模拟图.

从图1可以看出，当x从坐标150向两边延伸时，|u|→0 ，且在100～200之间出现了孤立波峰，波峰值控制在0～1，此模拟图基本上接近|u|的真解图.

图1 τ=0.001,h=0.1时|u|的模拟图

图2、3也能更好地模拟出u的实部、u的虚部、u在t=0,0.5,1时刻的图形，并且模拟图在计算1 000 步后仍能保持原孤立波的波形不变. 这表明笔者所构造的多辛Preissman格式是有效的，适用于长时间的数值行为.

图2 u的实部和虚部随时间演化的图形

3 结论

从数值实验可以看出，笔者构造的多辛Preissman格式能够保持长时间的稳定性，即在计算了很多步后仍能保持误差基本不变.另外，由于讨论的方程含有变系数项f(x,t)u,故在每一层迭代的时候都需要求解一个变系数的矩阵，这样会耗用较多的计算时间.但笔者构造的格式是两层隐格式，与三层隐格式相比，降低了迭代的难度，从而也大大节省了计算机的运行时间.

图3 τ=0.001,h=0.1时,|u|在不同时刻的模拟图