四阶中立型时滞微分方程解的振动性

贾对红

(长治学院 数学系，山西 长治 046000)

微分方程的振动性理论在微分方程的定性理论中占有重要的地位，被许多研究学者重视.近年来，高阶微分方程的振动性研究取得了较好的进展，在文献[1-6]的基础上，笔者研究了一类四阶中立型时滞微分方程的振动性，并给出了几个振动准则.

(E)

文中假设下列条件成立：

(A2)c(t)∈C1([t0,∞),R+),b(t)∈C2([t0,∞),R+),h(t)∈C([t0,∞),R+)，且

(A6)F(t,ξ,w)∈C([t0,∞)×[c,d]×(0,∞),R+),q(t,ξ)∈C([t0,∞)×[c,d],R+),

设x(t)为方程(E)的一个解，如果x(t)有任意大的零点，则称该解为振动的；否则称为方程(E)的非振动解.若方程(E)的所有解为振动的，称方程(E)是振动的[7].

1 预备知识

引理1 假设A1～A6成立，x(t)是方程(E)的一个正解，则存在充分大的t1>t0，当t>t1时，下面2种情况成立：

(a)z(t)>0,z′(t)<0,(a(t)z′(t))′<0,(b(t)(a(t)z′(t))′)′>0,

(b)z(t)>0,z′(t)>0,(a(t)z′(t))′<0,(b(t)(a(t)z′(t))′)′>0.

证明：设x(t)是方程(E)的一个正解，t∈[t0,∞)，则存在充分大的t1>t0，当t>t1时，

x(τ(t,μ))>0,x(g(t,ξ))>0，且

(c(t)(b(t)(a(t)z′(t))′)′)′+h(t)(b(t)(a(t)z′(t))′)′=

当t→∞时，由假设A1知，a(t)z′(t)→-∞.又因(a(t)z′(t))′<0，故存在t4≥t3，当t≥t4≥t3≥t2≥t1时有

a(t)z′(t)≤a(t4)z′(t4)<0,

由假设A1知，当t→∞时，z(t)→-∞，这与z(t)>0矛盾，即证.

引理2若假设A1-A6成立，x(t)是方程(E)的一个正解，z(t)满足情况(a)，且

(1)

l-p(t)z(τ(t,a))≥l-p(l+ε)=k(l+ε)>kz(t),

(2)

对上式从[t,∞)积分

2 主要结果

记D={(t,s):t0≤s≤t},D0={(t,s):t0≤s

(i)H(t,t)=0,t≥t0；H(t,s)>0,(t,s)∈D0；

定理1假设A1～A6成立，且存在函数H∈X及φ∈C([t0,∞),R)使得

(3)

(4)

(5)

其中t≥T≥t0，k>1,θ>0,

则方程E的解x(t)或者振动或者当t趋于无穷时趋向于0.

证明：设x(t)是方程E的非振动解，则x(t)为最终正解或负解.设x(t)是最终正解，即设x(t)>0,t≥t1≥t0，则有x(τ(t,μ))>0，(t,μ)∈[t,∞)×[a,b]，x(g(t,ξ))>0，(t,ξ)∈[t,∞)×[c,d].

若z(t)满足情况(b)，则

由假设A5,A6得

(c(t)(b(t)(a(t)z′(t))′)′)′+h(t)(b(t)(a(t)z′(t))′)′=

(6)

(7)

在(7)式两端同时乘以H(t,s)并从[t2,t]积分得

即

由(5)得，当t≥t2时，

φ(t)≤w(t),

(8)

定理2假设A1-A6及式(1)成立，存在函数H∈X以及R(t)∈C([t0,∞),R)满足

(9)

其中

D(t)=Q(t)-kρ(t)c(t)R2(t),

那么方程E的任何解或者振动或者当t趋于无穷时趋向于0.

上式两边乘以H(t,s)，从[t1,t]积分得

这与(9)矛盾.

类似情况(b)，可由引理2证得情形(a)的结论，证毕.

3 应用举例

因此，此方程的解或者振动或者趋向于0.