高考数学创新型试题的若干类型与评析

谭业静

【摘要】近几年来，我国各地高考始终坚持综合能力题的立意，全面深入考查学生的基础数学知识，培养数学多维思想，积极探索试题的综合创新思维设计.创新型高考试题主要是以被动问题探索为探究核心，以问题探究为发现途径，以主动发现问题为探究目的，综合考查考生自主创新活动意识和综合创新能力，充分体现了高考的综合考查主体作用和选拔性的功能.

【关键词】高考数学;创新型;题型评析

引 言

相较于一些传统综合试题来说，有着鲜明特点的创新型综合试题要求应试考生具备细致观察、认真分析、合理结构类比、准确推理归纳的综合能力.创新型高考试题的类型主要有：类比、归纳研究型，开放探索型，实用型，合情推理型，趣味逻辑型等.

一、高考数学通过运用创新型试题考查考生的自主创新能力

高考理科数学创新型试题主要是综合测量检查考生的自身发展性综合学习能力.高考理科数学考试十分重视对学生的创新思维意识的综合考查.考生的数学创新思维意识主要表现在以下方面：对新颖的数学信息﹑复杂情境，能主动选择有效的理论方法和科学手段进行分析、设问并处理，综合且灵活地应用自己所学的有关数学知识、思想和教学方法进行独立的问题思考﹑理论探索和问题研究，提出各种解决實际问题的具体思路方案﹐并能有创造性地通过分析和设计解决实际问题.从近几年的全国考题情况来看，创新型高考试题已逐渐成为当前全国各个重点高考院校命题组努力追求的一个理想考试目标之一.

二、高考数学创新型试题的类型及其特点

（一）类比、归纳研究型

在学生学习数学的过程中，培养学生掌握解题思想的启发性研究方法，对学生今后的学习与工作都会有很大的促进作用.类比数学研究中的题型相较于传统信息化的迁移研究题型来得更直接，它在题目中会直接给出明确的命题方向，学生将学过的基础数学知识进行类比、归纳和应用就会得到更一般的数学结论.近些年，全国高考明显地加强了对广大高考生掌握归纳与发现类比知识能力的综合考查，即由考生通过猜想掌握类比知识到归纳发现科学新知，渗透了从局部到整体、从特殊到一般的多种思维表达方法.

（二）开放探索型

开放探索型数学题符合越来越开放的高中教育发展理念，从考查学生思维方面而言，它其实是为了提升高中学生敢于大胆尝试与自由猜想的思维能力.学生大胆演绎，自由联想，尝试探索并验证，将多种不同思维表达方式进行整合，寻求无固定解法的解题途径.开放探索题的解法别致、多样，进一步培养了学生的创造意识与思维，这是新的教育理念的具体体现.

（三）实用型

把数学带入学生切身体会的生活中去，是目前教学课程很关注的一个新理念.实用型数学试题是以社会生态环保、健康心理教育、经济社会发展等各种社会经济背景知识为主要载体而设立的社会相关综合数学试题，考查的是学生能否把握对现实社会问题的有效处理转化与有效运用的综合能力，能够提升学生的数学分析能力及理解能力.综合知识型高考试题类型主要包括高考学科内各章节知识、学科知识综合交汇及其他学科知识，考生要更快速地解答这一类考试题目，就得从题中构造数学模型着手，利用数学知识框架将与其相关的比如函数、数列、数轴、概率等知识点进行整合.高考综合考试教学模式正在日益深入改革创新中，教师在针对高三年级学生重点复习高中数学知识点的过程中，要指导学生去重视对数学知识中所蕴藏的思想进行探索，提升解题技巧.

例1 （2018年全国Ⅱ卷理科第8题）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（  ）.

A.112   B.114   C.115   D.118

评析 该题充分弘扬我国中华优秀传统文化，可以不断增强学生的文化自觉和文化自信，引导学生形成独立的世界观.在讲解试题之前，教师可以让学生先发表对于该题的意见和解题思路并进行总结，写到黑板上，如果有错误，教师及时指出，这样能够让学生更加明确地了解习题中所运用到的知识，帮助学生巩固知识点.

（四）合情推理型

合情推理是根据已有的某种数学理论事实推理结论，或根据个人已有数学实践经验（包括数学理论实验或物理实践）和某种数学直观现象进行数学推测而直接得到某些数学结果的一种数学推理.我们通过观察现象，运用实验、归纳、类比等多种方法直接可以获得某种新的数学推理结论.从发现和掌握数学新知的角度来说﹐合情推理命题显得特别重要.因此，高考数学命题非常重视通过考查各个学生的合情理论推理思维能力水平来达到提高学生创新思维意识的基本目的.

例2 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-125-12≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（  ）.

A.165 cm  B.175 cm  C.185 cm  D.190 cm

评析 该题一出，引起社会各界的关注，更是有许多网友运用五花八门的方式进行解答.由此可以看出，重视演绎推理在古代是非常了不起的，因为古人往往处于一种需要努力维系生存的状态，因此需要考虑实际问题.比如罗马需要通过进攻维持帝国的强盛并且对征服的地区开展统治，因此高度重视军事武器的改良、法律的完善，而轻视那些似乎不着边际、没有实用性的纯数学理论.

（五）趣味逻辑型

逻辑学试题的研究对象主要是现代人们的逻辑思维活动形式及逻辑规律，在现代逻辑思维科学中，主要类型有形式逻辑﹑辩证主义逻辑和数理逻辑.其中趣味形式逻辑命题是一种形式逻辑，它从基本概念理解﹑逻辑命题、推理、逻辑数学基本规律等几个方面，通过通俗而有趣的经典故事形式介绍趣味逻辑学的基本知识及其实际应用.趣味逻辑命题展现了新的逻辑数学魅力，

可以培养广大学生的逻辑创新思维意识，提高广大学生快速学习趣味逻辑数学的兴趣，帮助广大学生快速打开掌握逻辑数学知识的智慧宝库，培养学生掌握驾驭各种逻辑数学工具的技巧.趣味逻辑型数学试题主要是教育部考试中心近年来新开发的一种创新型数学试题，其主要特点之一是新颖有趣，突出了现代数学的逻辑思辨性﹑科学逻辑性和科学创新性.教师在教学过程中应让学生成为课堂的“主演”，在讲解习题前，可以先让学生陈述自己的解题思路，然后总结几种解题思路写到黑板上.如果只讲解正确的解题思路，那么教师就先来用学生的解题思路，再把自己的解题思路讲解给学生;如果学生的解题思路是错误的，那么教师应该告诉学生解题思路错误的点与原因.这样学生就能够了解习题的题干、题眼，思考这道题用到哪些知识，从而巩固学过的知识点.

三、针对创新题型的学习启示

（一）复习巩固数学基础知识

学生在考前基础学习和考后复习中要不断探索巩固所学基础知识，注重基础知识之间的相互联系，对这些基础知识需要有一个系统的知识认知体系结构，同时，學生对学习过程中可能出现的一些错误点也要加以重视，找出学习过程中所犯的错误并及时对其进行纠正.总之，学生应全面复习巩固数学基础知识，以不断提高分析数学问题和掌握解决实际问题的基本能力，并为不断提高综合数学能力水平打好坚实的基础.

基础知识是非常重要的，一些同学在做题的过程中由于对公式运用不熟练导致解题思路不清晰，最终出现错误，所以应当在日常的练习中熟悉解题技巧，这样才能确保得到基本分.逻辑思维能力固然重要，但是公式是基础，要学会变通并熟练掌握，可通过反复练习不断巩固.当前学生存在的主要问题：第一，不会解题.一些学生因为想不到这个考点运用的是哪些知识点，分不清楚需要运用的公式，加上受到思维定式的影响，最终导致不会解题.第二，解题速度慢.解题速度慢的主要原因是对于公式和基础的解题思路不够熟练，对知识点的记忆较为模糊.第三，部分学生在做题的过程中不够细心，容易落入试题当中的陷阱，又或者是由于马虎出现错误，比如忘了加符号，忘了结果取整等.因此学生要在日常的练习过程中对重点公式反复记忆，掌握最基本的推理能力.

（二）注重探索，提高理论综合应用能力

在平常的教学过程中，教师要培养学生树立灵活的综合应用思维意识和自主创新实践意识，使他们在课间学习和集中复习时善于理性化地发散数学思维，将传统数学基础思想和方法合理有效地运用到日常数学理论学习中去，提高自己分析并解决数学问题的综合应用能力.

例如，教师在讲解立体几何知识时，如果只让学生通过想象就练习，难度会很大.因此，教师可以利用多媒体教学设备帮助学生建立直观印象.例如，利用视频课件和PPT动画效果向学生展示几何变换，这样就会让学生对立体图形有更加系统的认识，能让学生更加有效地了解抽象的知识.虽然多媒体设备的使用课堂已经有较长的历史，但是如果在高中课堂当中不经常使用，就失去了多媒体设备教学的意义.教师不仅需要充分、正确地运用自己的知识多样性向学生解释抽象的数学知识，还需要不断增强学生在学习中的自信，这是教师在数学教学过程中培养学生核心素养的途径.

（三）结合生活创新数学试题

教师在教学中应培养学生对知识的运用能力，使得学生能够更加深入地理解知识，并且能够运用所学知识解决实际生活中的问题.比如，2021年数学试卷以“五育并举”教育方针为指引，通过情境创设引导考生关注生活，关注社会，关注劳动.第6题以北京冬奥会为背景宣传志愿者服务，第17题以芯片生产中的刻蚀速率为原型，设计了概率统计的应用问题，考查了考生对平均数、方差等知识的理解和应用，考查学生的运算能力，同时还让学生体会数学在实际生产生活中的学科价值.结合学生的生活设置数学问题已经较为常见，这类数学问题旨在对学生知识运用能力的考查，其源于学生的日常生活，却又高于学生的日常生活，能够有效地吸引学生的注意力，引导学生进入试题所创设的问题情境之中，引导学生的想象，增强学生对数学的亲切感，从而使得学生主动地将问题的思考与实际生活结合起来.

例如，某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过十分钟的概率是（  ）.

A.13   B.12   C.23   D.34

在解答此题时，教师要引导学生探究问题背后所蕴含的生活，代入几何概型概率计算公式，最终得到答案12.这样不仅对学生的知识运用能力进行了考查，也体现了数学源于生活的理念.

（四）模型法解题

万变不离其宗，学生在解题过程中要注重将多个知识点进行综合，了解题目中渗透的数学思想和数学方法.因此，教师要教会学生注意认真审题，了解命题人的意图.针对创新型的高考试题，我们只要在科学方法的引导下，就一定会有很大程度的提高，所以提出了利用模型法解决此类问题.

创新型的题目虽然看起来较为新颖，但是最终的思想也是考查最基本的高中知识，所以我们解题的过程中需要熟悉题型，找到清晰的思路，然后将这个题目进行归类，最终把它归结为某一类考试题型.例如，将某一创新题型归结为考查圆锥曲线的知识点，掌握这一模型就知道圆锥曲线的考点，如求焦点问题等，有了一定的解题思路，解答题目时就不会出错.准确答题的关键就是仔细审题并进行深入思考和分析，谨防疏漏，要注意题型的变化，最终，利用模型法顺利解开谜题.

结束语

创新型试题已经成为高考一种重要的题型，在对于人才的选拔、立德树人理念的发展以及教学引领等各个方面都将起到积极的推动作用.因此，我们始终坚持在未来高考命题中研究和开发多种不同类型的创新型试题，对考生的综合素质和创新意识进行考查，这样可以有效地帮助广大考生积极备战自己的高考，以便顺利地考上理想的大学.

【参考文献】

[1]刘成龙，胡琳.高考数学创新试题的几种类型及评析[J].中学数学，2019（5）：38-39，41.

[2]叶国强，李世杰.2007年高考数学创新试题评析[J].上海中学数学，2008（1）：26-28.

[3]李恒.变中求新 新中出彩：2007年高考数学创新型试题评析[J].中学数学月刊，2007（8）：3-5.