M-矩阵最小特征值下界的新估计

刘兰兰，韩盼

(贵州民族大学 数据科学与信息工程学院， 贵州 贵阳 550025)

0 引言

非奇异M-矩阵是一类具有特殊结构的矩阵，是逆非负的一类Z-矩阵。M-矩阵的应用研究涉及到多个交叉领域的研究，例如在控制理论、工程计算、数字信号处理等多个研究领域都具有广泛的应用。关于非奇异M-矩阵最小特征值下界的研究一直是很多学者研究的热点，并且最近也给出了一个更好的结果[1-5]。本文继续在已有的基础上对非奇异M-矩阵最小特征值的更大的下界进行研究，给出新的下界。

1 预备知识

若B≥0，有A=sI-B，s>0，s>ρ(B)，则称A为非奇异M-矩阵[7-15]，记A∈Mn。

设A=(aij)∈Rn×n，如果存在一个置换矩阵T，使得

则称A是可约的，其中B、D都是阶数大于等于1的方阵，否则称A不可约。

设A=(aij)≥0为非负矩阵，令L=A-D，其中D=diag(a11，a22，…，ann)，同时JA=R-1L，R=diag(r11，r22，…，rnn)，其中

显然JA是非负矩阵，若对任意i∈N都有aii=0，则JA=A。

由文献[7]知：若A，B∈Mn，则A∘B-1∈Mn，矩阵A和B的Hadamard积定义为A∘B=(aijbij)， 则A∘B-1=(aijβij)。

为了后面叙述方便，引入以下符号：

设A=(aij)∈Cn×n， 对任意的

文献[2]中给出了非奇异M-矩阵特征值的下界，估计式如下

(1)

文献[3]对特征值的下界做了进一步的研究得到的估计式如下：B=(bij)∈Cn×n是M-矩阵，且B-1=(βij)，

(2)

孙德淑改进了文献[3]的结论，给出了更准确的下界估计式：设B=(bij)∈Mn，B-1=(βij)，

(3)

(4)

陈付彬在文献[5]中给出了优于式(2)、(4)的估计式，其结果是对文献[3-4]的改进。其估计式如下：设B∈Mn， 且B-1=(βij)，

(5)

(6)

2 主要结论

引理1[6]设A，B∈Cn×n， 且P，Q∈Cn×n是对角矩阵，则

P(A∘B)Q=(PAQ)∘B=(PA)∘(BQ)=A∘(PBQ)。

引理2[7]设A∈Mn， 则有Z=diag(zii)，zii>0， 使得Z-1AZ是严格对角占优矩阵M-矩阵。

引理3[9]若B=(bij)∈Mn严格对角占优，B-1=(βij)， 则βji≤uiβii。

引理4[8]设A∈Mn(C)， 则对Mn(C)上任意矩阵范数‖·‖都有

ρ(A)≤‖A‖。

定理1设A≥0，B=(bij)∈Mn，且B-1=(βij)，则

证明当n=1 时，定理成立，现在考虑n≥2时定理是否也成立。

因B∈Mn，由引理1和引理2知，存在对角矩阵Z=diag(z11，z22，…，znn)，zii≥0，使得Z-1AZ是严格对角占优的M-矩阵，且

ρ(A∘B-1)=ρ(Z-1(A∘B-1)Z)=ρ(A∘(Z-1BZ)-1) 。

为了方便讨论和不失一般性，假设B∈Mn严格对角占优，且B>0，下面对A，B矩阵分两种情形进行证明。

②矩阵A、B至少有一个可约，则存在n阶置换矩阵F=(fij)，其中f12=f23=f34=…=fn1=1， 其余fij=0， 则对任意正数ε， 让A+εF和B-εF均为不可约的矩阵。A+εF和B-εF分别代替A和B，当ε→0， 利用连续性可知结论成立。

定理2设B=(bij)∈Mn，B-1=(βij)， 则

证明令定理1中，矩阵A的元素aij=1， 则aii=rii=1， 且ρ(JA)=n-1，A∘B-1=B-1，则有

即定理得证。

定理3设A=(aij)≥0，B=(bij)∈Mn，B-1=(βij)，则

证明当n=1 时，定理显然成立，下证当n≥2 时定理成立。不失一般性，仍然设B是严格对角占优的M-矩阵。

下面对A、B分为是否可约2种情形进行证明。

①矩阵A、B都不可约，由A非负不可约，得到ρ(JA)和ρ(JAT)也非负不可约，所以存在正向量y=(yi)， 使得JATy=ρ(JAT)y， 根据JA的定义，可知

ρ(JAT)=ρ(R-1LT)=ρ(LR-1)=ρ(R-1(LR-1)R)=ρ(JA)，

有

由引理1 知

(uiβiiρ(JA)rii)(ujβjjρ(JA)rjj)，

即

(λ-aiiβii)(λ-ajjβjj)≤(uiβiiρ(JA)rii)(ujβjjρ(JA)rjj)。

解上述不等式，得

综上所述，得

②矩阵A、B至少有一个可约，则存在n阶置换矩阵F=(fij)， 其中f12=f23=f34=…=fn1=1， 其余fij=0， 则对任意正数ε， 让A+εF是不可约非负矩阵，B-εF均为不可约的M-矩阵。A+εF和B-εF分别代替A和B，当ε→0， 利用连续性可知结论成立。

定理4设B=(bij)∈Mn， 且B-1=(βij)， 则有

证明令定理3中，矩阵A中的元素aij=1，则aii=rii=1ρ(JA)=n-1，ρ(A∘B-1)=ρ(B-1)， 所以

注1对定理2和定理4进行比较，不失一般性，让i≠j， 设

βjj+vj(n-1)βjj≤βii+vi(n-1)βii，

则

vj(n-1)βjj≤βii-βjj+vi(n-1)βii。

所以

βii+(n-1)viβii。

因此

综上所述，定理4的结果优于定理2的结果。

注2对定理4和文献[5]中的定理4进行比较。

由文献[5]知,1>dj>sji>wji>0，j≠i，j∈N， 因此

而

由sjihi≥wji可知ei≤1，所以

sjihi≥wjiei。

当且仅当是上式取等号.

其中B-1=(βij)。综上所述，定理4的结果比文献[5]中定理4优越。

3 数值算例

例1设B1为M-矩阵，则

例2设B2为M-矩阵，则

例3设B3为M-矩阵，则

借助MATLAB软件可以得到如下结果。将以上3个算例与文献[2-5]中的数值结果和文本定理2和定理4的结果进行对比，对比结果见表1。

表1 B的特征值的下界Tab.1 Lower bound of B

本文给出了M-矩阵最小特征值的新下界的估计式，从表1可以看出：定理2和定理4的数值结果是τ(B)的有效上界，且比文献[2-5]的结果更接近于真值，因此文中提出的新估计式要优于上述文献中已有的估计式。