从乘法分配律看七年级学生“去括号”与“合并同类项”的易错点

邓 清 韦 宏 廖怡宁 南宁师范大学数学与统计学院

数学运算能力是一种通过熟练地掌握与运用算理和算法，准确地得出运算结果的能力。《义务教育数学课程标准（2011 版）》中明确指出，要重视对学生数学运算能力的培养。“去括号”和“合并同类项”是人教版七年级上册“整式”一章的两个重要内容，它是初中生代数学习的基础，也是数学运算能力培养的重要着力点。而在“去括号”和“合并同类项”的数学运算过程中，学生总容易出现各种各样的错误。戴再平认为，学生解决问题的易错源在于相关知识存储不足或理解的偏差。因此，为了提高学生数学运算能力，夯实学生初中代数学习的基础，教师需从运算的相关知识或理解出发，分析“去括号”和“合并同类项”错误产生的原因并找出错误的根源，及时纠正运算偏差。

“去括号”与“合并同类项”是七年级数学运算的重要内容，学生在进行运算操作时容易出现两类问题：“去括号”的漏乘和符号错误、“合并同类项”中添括号的符号错误。本文通过辩证认识乘法分配律与“去括号”“合并同类项”之间“源”与“流”的关系，分析算理根源之下学生易错背后的认知偏差，结合学生的情况提出从乘法分配律算理出发的整体处理问题的策略，帮助学生形成和深化对“去括号”与“合并同类项”的正确认知，避免易错、再错。

整式的化简是通过“去括号”和“合并同类项”来完成的，而“去括号”和“合并同类项”的实质是乘法分配律在数式中的应用。对于七年级学生而言，他们刚经历了数系的扩充，引入了负数，同时将原有的运算律在自然数集的应用类比推广到有理数集，这使得运算过程中需要重新审视“-”号的意义，不再单纯以小学的减号来认识，而是强化对负数的认知。在学习整式时，学生初步接触数系扩展之后的用字母表示数，这使得学生从小学单独的数、用字母表示正数的概念认知进行了拓展，进一步丰富了学生数与代数的认知图示，学生的抽象思维得到了更高层次的发展。但无论是负数引入带来的“-”号的两重含义，还是整式引入字母表示数等数学符号的增加，都是围绕本质内容而呈现的外在表象和形式。运算中出现的众多问题往往是由于学生局限于复杂外在的表象形式中，混淆了本质内容，形成了错误的理解。建构主义理论强调学习者的主动性，在接触新知识之前，学生在以前的学习生活中就有了一定程度的认识，因此学生在接纳新知识时并不是被动的，而是基于已有的水平和经验，主动选择和加工信息，从而实现新旧知识的完全融合。而运算错误并不全是偶然，有些是存在规律的，这些有规律的错误是因为学生在新旧知识融合中构建了自己独有的概念。在此认知下，学生要掌握“去括号”和“合并同类项”的运算，需要结合已有的知识经验，即乘法分配律在自然数集和有理数集中的应用，拨开表象的重重迷雾，从本质上认识新知识，将易错背后的观念化为正确认知。

一、知其源、悟之流

(一)乘法分配律之“源”

小学第一学段的主要内容是自然数四则运算，而真正学习到基本运算律内容是在第二学段。其实，运算律一直植根于自然数算法之中，在数的运算中不知不觉就有所运用。自然数集中的乘法分配律是从解决实际问题的过程中建模、抽象，概括得到概念及字母形式表达。但是，除了从实际生活中进行建模，学生若能从更高观点来认识乘法分配律的来源，认知便能达到更高层次。乘法分配律之“源”与数的发展密不可分。数的发展历来有两种源源不竭的动力：解决现实问题的需要（外在需要）和数系理论发展的需要（内在需要），这两种动力推动数的扩充。但是，数的发展中有一个恒定点，即保持运算律的有效性。也就是说，乘法分配律在数集的扩充中要保证有效性，这是“数与代数”的通性法则之一。在小学自然数集的乘法分配律中，满足乘法对加法的分配律，而并不满足乘法对减法的分配律，这是因为减法运算在自然数集中并不封闭。在七年级有理数中引入了负数，小学的减法和加法都可统一为有理数运算的加法。在引入新数、扩充数系的情况下，需要赋予乘法分配律在新数集以新定义，即有理数的乘法分配律。显然，有理数的乘法分配律本质上是与自然数的乘法分配律一致的，这即为乘法分配律之“源”。

(二)知“源”而看“流”

对于“去括号”运算，实质上是根据乘法分配律顺向展开。当括号前为正数时，“去括号”的分配规则与自然数集中乘法分配律一致；当括号前为负数时，则是将负数引入，变自然数集中的乘法运算为有理数集的乘法运算而形成的。比如，-9（a+b），此时由于有理数的乘法法则，这个式子经由乘法分配律展开后即为-9a+（-9b）=-9a-9b，根据符号的变化，而概括归纳出“去括号”的规律，即为“去括号法则”。这是“去括号”于乘法分配律中的“流”。

对于“合并同类项”运算，实质上是乘法分配律的逆向运用。在之前自然数集和有理数集之中的乘法分配律是数的应用，数（常数项）之间为同类，此时，由于整式中引入了字母表示数，多项式的每一项不再像数一样是能够直接合并的同类，需要根据单项式的字母组成和字母对应的指数，来对不同类型进行归类。“合并同类项”运算根据乘法分配律的逆运算，把数与字母的乘积看作之前的数与数的乘积，从而提取公因式，即字母部分。此时，合并同类项便如同自然数集和有理数集中数与数之间的乘法分配律的逆用同理，把公因式提取，剩余部分“添括号”相加。用一个具体的例子表示，即

（1）自然数集：2×3+2×5=（3+5）×2

（2）有理数集：（-2）×3+（-2）×5=（3+5）×（-2）

（3）合并同类项：-3ab+5ab=（-3+5）ab

其中，合并同类项中“ab”的性质如同自然数集和有理数集中“2”和“（-2）”，即两个因式里的公因式。运算之中，对同类项的相同字母及指数部分当作公因数一般进行添括号、提取，便可完成同类项的合并，这即为“合并同类项”于乘法分配律中的“流”。

二、从“源流”下分析易错、寻对策

(一)易错一：“去括号”中的漏乘和符号错误

例1：化简7（x+5）-（x+1）错解：原式=7x+5-x-1

例2：化简（1）-（4x+1）；（2）-（-6x+12）

错解：（1）原式=4x-1；（2）原式=-6x+12

例3：化简3（x2-1）-2（x2-2x+1）

错解：原式=3x2-1-2x2-2x+1

1.错解分析

例1错解属于“去括号”的漏乘，学生在对7（x+5）进行去括号运算时，只把7分配给了x，而没有分配给5，由此得到了7x+5；例2 错解属于“去括号”的符号问题，学生未能掌握去括号后各项符号的变化规律，表现为只换了第二项，或者只换了第一项；例3 为“去括号”的漏乘和符号问题的复合错解情况。

在化简整式的运算操作时，需要从算理根源——乘法分配律出发，灵活、准确地展开操作。对于学生的去括号运算，常常出现漏乘及符号变化的“就近分配”：在“分配”的过程中，括号外的数通常只分配给首项，而其他项没有；当括号外的数为负数时，常常只对除首项之外的项分配而变号，或是对括号内含“-”号的项改变符号。究其原因是学生在算术过渡到代数时对乘法分配律理解不够透彻，认知之中的分配并不是数与符号都乘以各项。从源头来看，括号外的数与符号对括号内各项的分配实质上是统一的，都能归结于乘法分配律。在引入负数之后，减法统一为有理数的加法，每一个多项式项与项之间是“+”的关系，而“-”号是这一项的负数属性，与它自身相连。而在平时“去括号”的教学中，稍不注意，容易直接输出给学生空洞的“去括号法则”的概念。学生的认知并没有建立起新旧知识之间的良好联系，使得理解产生偏差，在操作中总是不能正确分配。

2.解决策略

（1）疏通根源，强化负数的整体认知

根据建构主义，学生是从已有经验与认知出发，对新知识同化而构建新的认知。为了给予学生更好地过渡，纠正学生的错误理解，不妨从算理本质引导和帮助学生深化对“去括号法则”的理解，整体看待符号与数，将其整体分配至每一项，在有理数的乘法运算下，得到正确的答案，矫正学生易错。由此，可得：

例2正解：（1）原式=（-1）×4x+（-1）×1=-4x-1

（2）原式=（-1）×（-6x）+（-1）×12=6x-12

例3正解：

此时，符号的规律化为乘法分配律与有理数的负数乘法规则的结果，学生将晦涩生硬的“去括号法则”与已有的认知构建起了关联，形成正确的理解。从理论源头上充分认识“去括号”的操作依据，在深层次的理论认知基础上，使得运算操作落地有根，运行有依，施展有方，有助于学生纠正易错之下的理解偏差，达到对知识的通化理解。

（2）依据原理，分步落实

算理本质，是易错知识矫正的依据，是灵活进行“去括号”运算的根基，但对于基础薄弱、理解力、执行力较差的学生，也需要将算理分解出具体操作步骤，予以操作流程强化，于练习中渗透和体悟算理。由此，可以依据乘法分配律，将分配逐步展开：先分配括号外因数的绝对值部分，即通俗所称的数字部分，再分配因数的符号。即例3 化简3（x2-1）-2（x2-2x+1）的解答，可以进行如下的思路引导：

步骤1：先将3 分配给（x2-1）每一项，将2 分配给（x2-2x+1）每一项，可得

3（x2-1）-2（x2-2x+1）

=（3x2-3）-（2x2-4x+2）

步骤2：再对括号内的每一项进行符号的分配，其中第一个括号前为正号，直接去括号，而第二个括号前为负号，各项要变号，可得

3（x2-1）-2（x2-2x+1）

=（3x2-3）-（2x2-4x+2）

=3x2-3-2x2+4x-2

引导步骤如下：

题目：

3（x2-1）-2（x2-2x+1）

Step1：分配数字

=（3x2-3）-（2x2-4x+2）

Step2：分配符号

=3x2-3-2x2+4x-2

由此，依据乘法分配律形成“去括号”具体可行的操作步骤，引导学生依步骤操作，规范“去括号”的运算，此时，有助于基础薄弱的学生进行具体运算的操作和展开，形成严谨周密的思维。在操作练习之中，逐渐体会和领悟运算的原理，当易错背后的认知突破和矫正之后，达到对运算本质的理解，便可灵活进行“去括号”运算。

（二）易错二：“合并同类项”中添括号的符号错误

例4：化简2a-3a2-5a+a2

错解：原式=-（5+2）a-（3+1）a2=-7a-4a2

1.错解分析

例4 错解属于“合并同类项”中逆用乘法分配律进行添括号时的符号问题。当添括号之前为（-1）时，按照添括号法则（去括号法则的逆用）可知，括号内各项要变号。但是学生往往也会因为只就近改变首项，没有改变其他项而产生去括号的错解。在平常教学中，教师易于单一地将此易错归因于学生记忆不深刻、粗心等，而并未究其更深层次的原因：学生对新知的理解并未在头脑中与旧知形成较好连结，对添括号运算本质的理解是模糊的。要帮助学生有效矫正对“合并同类项”易错背后的理解偏差，首先要从乘法分配律出发，知道“合并同类项”的法理来源，从而判断产生数学错误的现实背景；其次要根据法理来源寻找更能贴切学生认知的解题思路，帮助学生一步步理解法理依据，从而进一步强化正确概念。

2.解决策略：分析算理，厘清根源，合并运算

对于这道例题，学生在添括号时没有对符号作相应的变化，这说明在学生的理解中每一项并不包括“-”“+”，即没有把符号、数字、字母整体看待。对此，不妨通过整体看待每一项来辅助学生对“合并同类项”的乘法分配律逆用的理解。

由此，例4正解可表示为：

原 式=（2a-5a）+（-3a2+a2）=（2-3）a+（-3+1）a2；此时，将“-”理解为负号属性，从而更明朗“合并同类项”的运算过程，降低易错再错的风险。

策略具体引导步骤：1.合并时添括号，括号与括号之间以加号连接；2.将同类项置于同一括号内；3.进行合并。注意：多项式的每一项已经包括符号，故移动时需视之为整体，整体进行加法交换律依据下的移动。

引导步骤如下：

题目：2a-3a2-5a+a2

Step1.分组，定括号

多项式可分为两组同类项，由此定出两个括号

=

（）+（）

step2.将同类项移动填入括号（连同符号）

↓=（-3a2+a2）+（2a-5a）

Step3.合并同类项

=（-3+1）a2+（2-5）a

=-2a2-3a

其实，“合并同类项”与“去括号”两点易错，实质上都是乘法分配律的原因，悟其一，则通其二，两者的易错根源都应从乘法分配律的来源分析和探求解决的策略，首先分步拆出可操作性的步骤，从理论和实践方面给予学生充分的认知梳理。其次，为学生提供充分的运算实践的机会，在运算之中逐渐强化运算的步骤，体会“去括号”“合并同类项”的运算法理，逐渐纠正学生对易错的思维认知，提高学生运算的缜密性和养成依据原理和步骤自我监控运算过程的学习习惯。由此，在每一次的运算操作学习以及练习中，逐步渗透给学生数学的法理和逻辑步骤规范性要求，将提高学生的数学运算能力的目标分解细化，缓步趋近。

总而言之，“去括号”与“合并同类项”运算的易错点需从“源流”即乘法分配律来分析，构建对整式加减运算算理本质的总体认知，从算理根源即乘法分配律出发整体处理运算以矫正易错。在教学中，讲解整式运算问题的原理时，既要有一定的理论高度，又要通俗易懂，用学生能接受的语言、操作策略让学生明白复杂的法理依据。而在解题实践之中，需提炼出错解背后深层次的原因，从“源流”予以分析、探寻对策，深化学生的理解，形成正确认知，避免易错、再错。