实模态灵敏度分析的2种模态算法及其应用

张 淼, 于 澜, 鞠 伟

(1.长春工程学院 理学院,吉林 长春 130012; 2.中国第一汽车集团有限公司 研发总院,吉林 长春 130011)

0 引 言

灵敏度分析是指在结构分析中通过引入设计参数向量,将系统的性质矩阵和实模态参数(包括频率和振型)视为该设计参数向量的函数,并计算其关于某个或某些设计参数的偏导数。这些灵敏度分析结果可构成灵敏度矩阵,用于集中处理模型修正[1-2]、损伤识别[3-4]及结构控制[5]等大型工程问题。近年来，伴随着灵敏度分析技术的不断进步,以灵敏度作为基础依据的模型修正、损伤识别及结构优化等方面的研究已经得到越来越广泛的关注。

针对无阻尼对称单频振动系统,目前较为常见的几种实模态参数的灵敏度算法包括模态法[6-10]、代数法[6,11]、直接法[12-14]和迭代法[15-17]。文献[6]针对广义特征问题提出求解特征向量一阶灵敏度的代数法和模态法,并被视为最经典的算法之一,目前依然在工程实际中得到广泛的应用;文献[7-9]开发以文献[6]算法为基础的截模态算法;文献[11]针对广义特征问题提出能同时求解特征值与特征向量的一阶导数的代数法;文献[10]将文献[6]算法推广至实模态的二阶及更高阶灵敏度的计算中。

而最早的直接法框架是文献[18]提出的,其针对特征向量的一阶导数支配方程进行数学处理,从而改变支配方程的系数矩阵的奇异性,使之存在唯一解。文献[12]基于Nelson思想提出特征向量的一阶灵敏度算法;文献[13]将一阶灵敏度算法[18]推广到特征向量的高阶灵敏度的计算中;文献[14]针对广义特征问题提出基于Nelson法的特征向量一阶灵敏度的移频迭代技术。

在模型修正、损伤识别及结构控制等领域中,人们经常将实测模态强制满足系统质量矩阵正交规范化条件,或者在系统质量矩阵正交规范化条件下与解析模态进行匹配,从而修正矩阵元素,寻找损伤位置或实现结构控制,因此与之相关的灵敏度算法也必须使用质量矩阵加权正交规范化条件来确定一个特别的线性组合系数[19-21]。而近些年来,在能够对结构进行越来越好的参数化操作后,人们开始倾向于发展更为简单的规范化方法来获得实测模态,相应地,需要开发与之相关的灵敏度分析算法,来实现更为灵活的设计参数型模型修正方法等应用于工程实际。为此本文提出一种新算法,只需以最简单方便的欧几里德范数为1作为实模态向量的规范化条件,来计算其一阶、二阶灵敏度,并讨论其二阶泰勒近似式的精度问题,最后通过数值算例证明该算法的正确性及有效性。

1 实模态规范化方法

在灵敏度分析中特征向量的规范化条件主要有:① 确保特征向量的唯一性;② 与特征向量的正交性相结合来对角化方程组的系数矩阵,从而解耦方程组;③ 作为补充方程来弥补方程组的系数矩阵的降秩现象,使之存在唯一解。通常情况下,希望一个特征向量的规范化条件能满足以上所有的要求。但为了满足工程需要,往往通过去除某些要求,来适应更为复杂的结构分析与设计。

N自由度的线性离散振动系统的运动方程为:

(1)

把时间域的矩阵方程变换到拉氏域(变量为λ),并且假定初始位移和速度为0。若阻尼矩阵为零矩阵,则在无阻尼情况下拉氏域中的系统方程变为:

(K+λiM)φi=0

(2)

(3)

φi′TMφi=1,i=1,2,…,N

(4)

根据 (3)式,此时仍有:

φi′TMφj=0,i≠j；i、j=1,2,…,N

(5)

记模态矩阵分别为Φ=[φ1φ2…φN]和Φ′=[φ1′φ2′ …φN′],根据(2)式、(4)式、(5)式可得:

Φ′TMΦ=E

(6)

Φ′TKΦ=diag(-λ1,-λ2,…,-λN)

(7)

2 实模态灵敏度的全模态算法

2.1 一阶灵敏度

结构灵敏度分析,即关于某些设计参数的变化所导致的系统响应变化的研究,被应用于各种工程实践中,例如系统识别、抗干扰控制系统的设计、基于梯度的数学规划求解方法、系统响应近似、静态和瞬态响应计算以及结构优化设计等。其中模态灵敏度分析显得尤其重要,它在某些分析和设计应用中能够完成多种工作,例如在设计参数的扰动后求解新的模态、确定设计变化对结构动力行为所产生的影响、在结构的某点处定制模态来达到最小位移等。

为此,引入设计参数向量b=[b1b2…bq]T,相应的(2)式改写为:

K(b)φ(b)+λ(b)M(b)φ(b)=0

(8)

为了讨论方便,以下仍记为(2)式的形式。

若只是为了分析某阶模态的跳跃或弯转[22-23]等独立信息,则相对于某个设计参数的灵敏度分析值可以作为主要的参考指标来应用。但工程中某些反问题所引起的逆灵敏度分析中,通常需要计算该阶模态对所有设计参数的灵敏度,形成梯度矩阵。

对于单频无阻尼系统,由于不同的实频率所对应的实模态向量φk(k=1,2,…,N)线性无关,因此可以作为 (2) 式的矩阵特征空间的基底,也可作为N维向量空间的基底,因此N维实模态向量的一阶灵敏度向量φi,j(j=1,2,…,q)一定可在实模态空间内表示为基底的某一线性组合,即

(9)

对于某个确定的i,将实模态向量φi所满足的(2)式两端分别对第j个参数bj求导得:

K,jφi+Kφi,j+λi,jMφi+λiM,jφi+

λiMφi,j=0

(10)

其中:(·),j代表(·)对设计参数bj的一阶偏导数。再将(9)式代入(10)式并左乘Φ′T,得到实模态的一阶灵敏度向量φi,j的支配方程为:

Φ′T(K+λiM)Φa(ij)=-Φ′T(λi,jM+

K,j+λiM,j)φi

(11)

用单频系统实模态向量之间的规范正交化关系(6)式、(7)式解耦支配方程,即可获得一阶模态灵敏度系数的控制方程为:

(12)

首先,观察一阶模态灵敏度系数的控制方程组中第i个方程为:

(13)

由于模态灵敏度系数的控制方程的解必然存在,不会出现矛盾方程,因此(13)式右端恒为0,可解得第i阶实频率的一阶灵敏度为:

λi,j=-φi′T(K,j+λiM,j)φi,

i=1,2,…,N

(14)

其次,利用一阶模态灵敏度系数的控制方程组中除第i个方程以外的(N-1)个方程,可解出(N-1)个一阶模态灵敏度系数为:

k≠i;k=1,2,…,N

(15)

(16)

将(9)式代入(16)式得:

a(ij)TΦTφi=0

(17)

即有:

(18)

(19)

因此,由(15)式、(19)式即获得全部一阶模态灵敏度系数,代入(9)式即可获得实模态向量φi的一阶灵敏度向量φi,j(j=1,2,…,q),再根据定义2,即可获得实模态φi的梯度矩阵[φi]。

2.2 二阶灵敏度

结构分析的基本目标之一是把能由实测数据检验的结构分析模型公式化,该模型一开始常常不能产生接近真实的基频和模态振型,继而必须引入一个迭代循环来调整分析模型,直到分析和实验的数据相互匹配。若没有灵敏度的参与,则这一调整过程很难实现。近年来有许多调整方法在不断地发展,但没有一个能被普遍接受的方法出现,这是由于对于一些特殊的应用来说,很难达到目的[19]。一些方法还尝试从不完全的模态数据中建立刚度矩阵,应用最小二乘优化技术来获得期待的性质矩阵;另一些方法则用截断泰勒展开式,在修正过程中围绕一个已知点展开每一项,然后求近似解的矩,特别是中值和方差。

实际上,在多数参数化的结构分析工作中,都离不开1个或多个非线性规划模型的建立和求解,在此过程中,要重点考虑数据和建模的精度。二阶灵敏度的计算是多样化信息的来源,可以提供精度上的必要支持。在与非线性规划求解有关的算法中,对海森矩阵的近似或精确表达都是必不可少的程序。

对于1,2,…,N中某个确定的i,为了计算实模态向量φi的海森矩阵[2φi],必须计算φi关于所有设计参数b1,b2,…,bq的二阶灵敏度向量φi,jl(j、l=1,2,…,q)。

定义4 称

为第i个实模态向量φi关于设计参数向量b=[b1b2…bq]T的二阶灵敏度矩阵(海森矩阵)。

N维实模态向量的二阶灵敏度向量φi,jl(j、l=1,2,…,q)一定可在实模态空间内表示为基底的某一线性组合,即

(20)

用与一阶灵敏度计算相似的方法推导可得:

λi,lφk′TM,jφi+λiφk′TM,jlφi+

k≠i;k=1,2,…,N

(21)

(22)

其中:(·),jl代表(·)先对设计参数bj再对设计参数bl的二阶偏导数。

由(21)式、(22)式可获得全部二阶模态灵敏度系数,然后代入(20)式可获得实模态向量φi的二阶灵敏度向量φi,jl(j、l=1,2,…,q),再根据定义4,可获得实模态φi的海森矩阵[2φi]。

(23)

3 实模态灵敏度的截模态算法

模态法最为显著的特点是利用模态的正交规范性解耦了支配方程,便于求解。一方面由于其公式化的递推形式,很容易在计算机上编程实现;另一面由于其不需要任何数值技术就能提供一种稳定的精度,这使得模态法具有良好的工程应用性。但是全模态法在工程应用中最大的难点在于需要获得所有各阶实模态来做线性组合才能得到精确解,众所周知,在工程实际中获得全部模态是十分困难的,因此寻求其所对应的高效的截模态算法[7-9,24]具有十分重要的工程意义。

由(15)式、(21)式可知,由于两式右端项的分母中含有因子(λk-λi),当所求模态落入模态密集区时,它们所对应的频率差很小,在一阶及二阶灵敏度的线性组合(9)式、(20)式中,这些线性组合系数就会相对较大[25]。这一点提示可以适当地缩减自由度,由此可以只取距离所求模态范围不是很远的模态来参与计算,而略去那些距离较远处的模态的贡献,从而建立一种截断准则,形成截模态算法。此截模态算法的精度及误差,尤其是当(23)式中所包含的梯度和海森矩阵中的所有一阶、二阶灵敏度均用截模态算法计算时,误差积累所产生的影响将通过以下数值算例加以说明。

4 数值算例

一个7自由度的卡车集成结构系统如图1所示。只考虑垂直平面上的振动,所有水平、转动和偏转方向上的自由度并不予以考虑。

结构各参数取值如下:前轮中心至车厢与车架连接的等效弹簧的距离分别为z1*=1.8 m、z2*=2.3 m、z3*=3.8 m、z4*=4.3 m、z5*=5.0 m、z1=2.5 m,前轮中心至车架质心的距离z4=2.0 m,前轮中心至车厢质心的距离z5=3.0 m,前轮中心至后悬挂点的距离L=3.5 m,后轮中心至后悬挂点的距离l=0.85 m,前轮、后轮、车架及车厢的等效质量分别为m1=75 kg、m2=m3=80 kg、m4=3 500 kg、m5=1 800 kg,车厢绕质心的转动惯量为J4,车架绕质心的转动惯量为J5,车轮、前悬挂系统、后悬挂系统以及车厢与车架连接的等效阻尼系数分别为c0=120 N·s/m、c1=150 N·s/m、c2=50 N·s/m、c3=80 N·s/m,车轮、前悬挂系统、后悬挂系统以及车厢与车架连接的等效弹簧刚度分别为k0=12 000 N/m、k1=14 000 N/m、k2=9 500 N/m、k3=4 000 N/m。

图1 7自由度卡车模型

取k3作为设计参数。以其第1阶实模态为例,在初始系统中,计算得到的第1阶实模态值；利用(9)式、(15)式、(19)式计算得到第1阶实模态的一阶灵敏度；利用(20)～(22)式计算得到第1阶实模态的二阶灵敏度值均见表1所列。

表1 初始系统的第1阶实模态、灵敏度及其变化后系统的第1阶实模态的泰勒近似值和误差

表2 初始系统的第2阶实模态、灵敏度及其变化后系统的第2阶实模态的泰勒近似值和误差

表3 初始系统的第3阶实模态、灵敏度及其变化后系统的第3阶实模态的泰勒近似值和误差

表4 第1阶实模态灵敏度的截模态算法的泰勒近似误差 10-5

表5 第2阶实模态灵敏度的截模态算法的泰勒近似误差 10-4

表6 第3阶实模态灵敏度的截模态算法的泰勒近似误差 10-4

由表1～表3可知,实模态在步长为4时比较稳定,用本文提出的全模态算法对变化后的实模态进行二阶泰勒近似,其误差很小,说明本文全模态算法具有非常好的精度。

由表4～表6可知,即使只选取主模态附近及其附近极少的模态进行截模态算法的叠加运算,其精度也非常可靠,截模态算法与全模态算法误差的数量级基本一致,说明本文提出的截模态算法具有良好的工程应用性。

5 结 论

本文提出的计算实模态向量的梯度向量及海森矩阵的方法,以及实模态向量在设计参数发生扰动后的新值二阶泰勒近似算法,都为工程应用提供可靠且高效的算法基础。利用一种更易于操作的实模态规范化条件,解决了由于灵敏度支配方程降秩所导致无法求解灵敏度系数的问题,并实现了在相应规范化条件下灵敏度的唯一性表达,使计算的灵敏度能够正确反映原始输出实模态的变化。数值算例的结果证明了本文算法的精确性、有效性和可靠性。