基于两相幂次趋近律的四旋翼飞行器自适应控制①

何紫云 陶玫玲 陈 强 魏 春

(浙江工业大学信息工程学院 杭州 310023）

0 引言

四旋翼飞行器具有体积小、价格低、灵敏度高、适应力强等优点,引起了人们广泛关注[1-2]。针对四旋翼飞行器非线性、强耦合、欠驱动的特点,许多控制方法如反演控制、自适应控制、有限时间控制、滑模控制等被用于四旋翼飞行器控制策略设计[3-9]。其中,滑模控制作为一种非线性控制方法,因其在动态过程中可以根据系统状态变化,使系统按照设计的“滑动模态”运动,具有快速响应、物理实现简单等优点[10]。采用滑模控制的系统运动过程可以分为趋近阶段、滑动模态阶段和稳态阶段。然而,当系统处于滑动模态阶段时,系统状态难以严格沿着滑模面滑动,从而产生抖振问题。因此,设计基于趋近律的滑模控制策略可以削弱抖振,同时改善滑模到达过程的动态品质。

文献[11]提出一种收敛速率恒定的等速趋近律的滑模负荷频率控制策略,系统状态在有限时间内到达滑模面,系统频率偏差趋近于零。文献[12]针对机械臂模型,提出了一种改进的趋近律,引入饱和函数代替原符号函数,在一定程度上削弱抖振。指数趋近律在等速趋近律的基础上增加了快速项,具有更快的收敛速度,但通过饱和函数替代符号函数不能从根本上解决抖振问题。幂次趋近律相比指数趋近律,滑模变量到达滑模面时趋近速度为零,能够有效削弱抖振,但在远离滑模面时收敛速度较慢[13]。文献[14]结合指数趋近律与幂次趋近律的优势,提出一种快速幂次趋近律。文献[15]针对传统趋近律收敛速度慢和抖振严重问题,提出一种新型双幂次趋近律的滑模控制方法,通过数值仿真验证该方法具有更快的收敛速度。

然而,上述文献中趋近律的控制增益是固定的,不能实时根据滑模变量调节控制增益,控制器的动态品质有待提升。文献[16]基于特殊幂次函数与反双曲正弦函数构造一种新型趋近律,显著削弱高频抖振现象。文献[17]提出一种新型两相形式的吸引律,使状态呈现出两阶段收敛的过程。然而,该方法要求系统参数完全已知,且未考虑系统不确定性与外部扰动的影响,在实际应用中受到一定限制。

本文针对带有模型不确定性与外部扰动的四旋翼飞行器系统,首先,提出两相幂次趋近律,根据系统状态将趋近过程分为两个阶段,提高趋近速率并削弱抖振,使系统有较好的瞬态性能,且在有限时间内跟踪参考轨迹。其次,文中采用自适应方法估计外部不确定性平方的上界,避免因符号函数存在引起的抖振问题,以保证良好的控制品质。最后,通过Lyapunov 方法和数值仿真验证本文控制方案的有效性。

1 四旋翼飞行器模型建立

1.1 坐标系定义

通常四旋翼飞行器的坐标系可分为机体坐标系与惯性坐标系,均为右手坐标系。机体坐标系由坐标轴xB、yB、zB确定,以正方向作为四旋翼飞行器的前进方向。惯性坐标系由坐标轴xW、yW、zW确定。如图1 所示,四旋翼飞行器的4 个旋翼呈“十”字形状对称分布,且均处于同一平面。四旋翼飞行器的运动包括了6 个自由度,即垂直、侧向、前后方向的位置运动以及翻滚、俯仰和偏航的姿态运动。

图1 四旋翼飞行器模型

在考虑陀螺效应等条件时,对其完整动力学分析仍然较为复杂。为简化分析,忽略陀螺效应等对机体的影响,并作如下假设:

假设1四旋翼飞行器具有对称的刚性结构。

假设2忽略了地面效应、四旋翼飞行器的弹性变形和所受的冲击力。

假设3电机的旋转轴均平行于Z轴方向。

1.2 动力学模型

考虑系统不确定性影响,四旋翼飞行器的平动运动和旋转运动可以根据牛顿-欧拉公式进行动力学建模[18-19]:

其中,uφ、uθ、uψ分别为3 个姿态通道的控制力矩输入,m表示质量,g表示重力加速度,u1表示4 个旋翼产生的总升力。

四旋翼飞行器期望位置轨迹xd、yd、zd和期望姿态轨迹φd、θd、ψd以及总升力u1满足以下耦合关系。

本文的控制目标是针对四旋翼飞行器位置和姿态控制系统式(4),考虑未知外部不确定性和干扰,设计自适应滑模控制器u,使位置信号x、y、z和姿态角φ、θ、ψ能在有限时间内跟踪上参考轨迹。

为实现控制目标,定义跟踪误差向量e =[ex,ey,ez,eφ,eθ,eψ]T∈R6×1如下:

其中,xD=[xd,yd,zd,φd,θd,ψd]T∈R6×1为惯性坐标系下期望向量。

2 自适应控制器设计

2.1 两相幂次趋近律设计

以位置x通道为例,进行自适应控制器设计。根据式(6),得到x通道跟踪误差ex:

对式(7)分别求一阶和二阶导数:

设计位置x通道的滑模面sx如下:

其中,λx ＞0 为滑模面式(10)的参数。

对式(10)求导:

考虑四旋翼飞行器非线性系统式(4),将式(8)和式(9)代入式(11)得:

其中,参数k1x ＞0,k2x ＞0,sgn(·) 为符号函数,且

其中,p1＞q1,p2＞q2,且p1、p2、q1和q2均为正奇数。

如图2(a)所示,当滑模变量初值| sx(0)|≥1时,式(13)可改写为

图2 不同初值条件下滑模变量

滑模变量sx(t1)=1 →sx(t2)=0,所需时间由式(17)可得。

当初值| sx(0)|≥1 时,由式(16)和式(18)可得滑模变量sx(t) →0 的到达时间t2为

同理,当滑模变量初值| sx(0)| ＜1 时,由式(17)可得滑模变量sx(t) →0 的到达时间t3为

由式(19)和式(20)可知,到达时间的上界tmax只与两相幂次趋近律参数相关,满足:

2.2 有限时间控制器设计

针对四旋翼飞行器系统式(4),将控制器设计分成6 个控制通道,即位置x通道、位置y通道、位置z控制通道、翻滚角φ通道、俯仰角θ通道和偏航角ψ通道。本文以位置x通道为例,设计有限时间控制器。

根据假设4,位置x通道的外部不确定性dx满足:

基于类似推导过程,可得其他通道的控制器设计,位置y通道、位置z控制通道、翻滚角φ通道、俯仰角θ通道和偏航角ψ通道的控制器分别为

注1滑模变量的收敛时间上界tmax只与两相幂次趋近律参数k1x、k2x、p1、p2、q1、q2相关。k1x、k2x、p1/q1越大,q2/p2越小,控制器增益越大,滑模变量的收敛速度越快;反之,k1x、k2x、p1/q1越小,q2/p2越大,控制器增益越小,滑模变量的收敛速度越慢。因此,参数选取需要同时考虑收敛速度与控制器增益大小。

3 稳定性分析

定义1[20]考虑非线性系统(x,u),y=h(x),其中,x为状态向量,且x(t0)=x(0),若存在ε ＞0 和一个非负常数T(ε,x0),使得对于所有t ＞t0+T时,都有‖x(t)‖＜ε成立,系统最终一致有界。

定理1考虑四旋翼飞行器系统式(4)、自适应有限时间滑模控制器式(24)、自适应更新律式(25)～(27),保证:

其他控制通道证明过程与位置x控制通道类似,即闭环系统中滑模变量s与所有参数估计误差信号均是最终一致有界的,且滑模变量s有限时间收敛至平衡点附近的邻域内。

4 仿真验证及分析

为验证本文所提出的两相幂次趋近律自适应控制方法的可行性,对以下两种控制方法(即M1 和M2)进行仿真对比。

M1 方法:本文提出的基于两相幂次趋近律的自适应滑模控制方法,采用两相幂次趋近律式(13)、控制器式(24)及式(28)～(32)。

M2 方法:基于双幂次趋近律的自适应滑模控制方法,采用如下双幂次趋近律[21]:

M2 方法采用控制器如下:

图3 和图4 分别为位置环和姿态环期望轨迹跟踪图,从图中可以看出,各控制通道均较快跟踪上期望值,瞬态性能良好;稳态误差小,跟踪精度高。

图3 位置环期望跟踪

图4 姿态环期望跟踪

图5 和图6 分别为位置环和姿态环滑模变量收敛图,从图中可以看出,位置环各控制通道及偏航角控制通道的滑模变量收敛速度较快,俯仰角和翻滚角因期望需先解耦得到,滑模变量收敛速度稍慢。

图5 位置环滑模变量

图6 姿态环滑模变量

图7 和图8 分别为位置环和姿态环控制输入。

图7 位置环控制输入

图8 姿态环控制输入

仿真实例2为进一步说明两相幂次趋近律在两个趋近阶段均有更快的趋近速度,对M1 和M2进行对比仿真,为得到有效对比,M1 和M2 的控制器参数相同,滑模面参数为λx=λy=λz=λφ=λθ=λψ=2。M2 中双幂次趋近律式(55)参数选取κ1=p1/q1=13/7,κ2=q2/p2=7/11,k3x=k3y=k3z=2,k4x=k4y=k4z=1,k3φ=k3θ=k3ψ=4,k4φ=k4θ=k4ψ=3。

图9 和图10 分别为位置环和姿态环滑模变量收敛图。从图中可以看出,不论初值是否大于1,采用M1 方法的位置环和姿态环滑模变量趋近速率均大于M2 方法,且更快到达滑模面,瞬态性能更好。

图9 位置环滑模变量

图10 姿态环滑模变量

综上,相较M2 方法,本文提出的M1 方法具有更快的滑模变量趋近速率,使四旋翼飞行器系统对期望轨迹跟踪有更好的瞬态、稳态性能及鲁棒性。

5 结论

本文针对存在外部不确定性的四旋翼飞行器系统,提出了一种两相幂次趋近律,以| sx(t1)|=1 为分界点,将趋近过程分为两个阶段,提高了系统状态远离滑模面时的趋近速率,并在到达滑模面附近时改变趋近速率、削弱抖振。同时,针对外部不确定性,采用自适应方法估计其平方的上界,从而避免了传统自适应方法引入符号函数而产生抖振问题,以保证良好的控制品质,实现了四旋翼飞行器对期望轨迹的快速准确跟踪。